(Уравнения гармонического колебания)

Когда т.М проецируется на горизонтальный диаметр в уравнениях (1) – (2b) ставят cos. Смещение х положительно, при направлении вверх.

Абсолютное значение максимально смещения А называется амплитудой колебания. ω – циклическая (круговая) частота, Т – период колебания, время одного полного колебания. (Ед. измерения – сек) φ – фаза колебания – это аргумент тригонометрической функции в уравнении гармонического колебания. Физический смысл ее состоит в том, что она характеризует положение колеблющегося тела в любой момент времени. υ – частота колебания, это величина обратная периоду υ= (Гц). Уравнение гармонического колебания, в случае если в начальный момент фаза уже имела некоторое значение φ₀, будет иметь вид:

Х=Аsin(φ+φ₀)=Asin(ωt+φ₀) (3), где φ₀ – начальная фаза. Скорость колебания точки N определяется как производная смещения (2) по времени:

V= (4).

Скорость тоже изменяется по гармоническому закону. Скорость изменяется со временем и продифференцировав уравнение «а»:

(5)

Ускорение можно выразить через смещение (учитывая (2)). Знак ускорения всегда противоположен знаку смещения

(6)

Смещение х, скорость – V и ускорение а совершают гармонические колебания с одинаковой ω – круговая частота и периодом Т= . Для того, чтобы частица совершала гармонические колебания действующая сила

F=ma=-mω²x=-kx (7),

мы учитываем (6), где k=mω², пропорциональна величине смещения и направлена в сторону, противоположную смещению. Эту силу называют возвращающей силой. Например движение маятника сила F стремится возвратить маятник в положение равновесия. Возвращающей силой может быть: сила упругости и другие силы, имеющие другую природу. Тогда последние называются квазиупругими силами. (от латинского слова quasi как бы, якобы «упругие»). Величина х есть гармоническая функция времени.

х

t

T

Рисунок 10

На рис. 10 изображен график гармонического колебания (синусоиды) для случая, когда начальная фаза равна нулю (φ₀=0). Когда φ₀≠0 необходимо сдвинуть ось ординат так, чтобы начальная ордината равнялась Аsinφ₀. Колебательные движения – это движения около устойчивого равновесия, т.е. в потенциальной яме. Рассмотрим систему, состоящую из шарика массой m, подвешенного на пружине (пружинный маятник) (см. рис. 11).

l₀ l₀+∆ l₀

k∆ l₀ 0

x

mg Рисунок 11

Массой пружины пренебрегаем. Шарик движется вдоль оси Х. Точка 0 на оси Х отвечает положению равновесия шарика т.е. состоянию не деформированной пружины. В этом случае сила mg уравновешивается упругой силой k∆ l₀: mg= k∆ l₀ (8), где ∆ l₀ – удлинение пружины. При смещении шарика на расстояние х, то удлинение пружины станет равным ∆ l₀+х и проекция результирующей силы на ось х будет

F= mg – k(∆ l₀+х) (9), подставив условие (8) в (9), получим, что F= – kх (10)

Т.о. результирующая силы тяжести и упругой силы носит характер квазиупругой силы. Уравнение второго закона Ньютона имеет вид (7) откуда mω²х=kх, откуда круговая частота (11)

Можно найти период (12).

Рассмотрим механическую колебательную систему. В качестве примера возьмем твердое тело, которое вращается вокруг горизонтальной оси под влиянием силы тяжести. Такое тело называют физическим маятником. При малых отклонениях от положения равновесия на угол α физический маятник совершает колебания, возвращающая сила стремится вернуть маятник в положение равновесия (рис.12).

, где m – масса маятника. При малых отклонениях

sinα ≈ α, тогда (13), где х – дуговое смещение центра тяжести маятника от положения равновесия. l=BC – длина маятника.

В

α

l C

F

α

D 0 х

Р

Рисунок 12

Возвращающая сила является квазиупругой силой и колебания маятника гармонические. На основании закона динамики вращения момент возвращающей силы будет М=F∙l=Iβ, где I – момент инерции маятника, β – угловое ускорение. Откуда F= , т.к. β= и учитывая формулу (6) запишем (14), ω – круговая частота. Составим формулы (13) и (14), получим -mg откуда mgl=Iω² и (15)

Период Т= (16), где - приведенная длина физического маятника.

На практике часто рассматривают физический маятник как математический. Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити. Рассмотрим колебания математического маятника (Рис.5)

α l

m

Рисунок 13

Момент математического маятника I=ml², m – масса материальной точки, l – длина нити. Подставляя значение I в формулу (16), получим (17). При малых отклонениях α период математического маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника.

При гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии W_k движущегося тела и потенциальной энергии W_п, обусловленной действием квазиупругой силы. Полная энергии системы.

W=W_k+ W_п (18)

Учитывая формулу (4) (19)

Потенциальная энергия упруго деформированного тела и учитывая формулу (2) получим , где k=mω², тогда (20)

Подставим значения W_k и W_п в формулу (18), получим

(21)

Полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.

До сих пор мы рассматривали колебание тел так, что колебания происходили беспрепятственно. Колебания реальной механической системы всегда сопровождаются трением. При этом расходуется часть энергии. Тело выведено из положения равновесия и предоставлено самому себе. Колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения. Если в системе нет трения, то колебания будут продолжаться сколь угодно долго. Т.о. полная энергия остается постоянной. При наличии трения энергия колебания уменьшается и переходит в теплоту. Происходит уменьшение амплитуды (Рис. 14)

х

0 t

Рисунок 14

Такого рода колебания называются затухающими. Можно воздействуя на тело с периодической силой, частота которой отлична от собственной частоты. Так внешняя сила называется вынуждающей силой.

(22), где f₀ – амплитудное значение силы, ω_в – круговая частота колебаний силы. Тело будет совершать вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Колебания будут незатухающими. Колебания называются вынужденными. На колеблющееся тело действуют три силы: вынуждающая f, возвращающая F, и сила трения. Для упрощения расчета силой трения. Для упрощения расчета силой трения пренебрегаем. Согласно второму закону Ньютона, F+ f=ma, где m и a – масса и ускорение тела. Явление резкого нарастания амплитуды колебаний в тех случаях, когда частота внешней силы близка к частоте собственных колебаний, называется резонансом. Акустика – усиление звука.