1 Задания Задание 1

Обработать результаты многоразовых измерений прибором, имеющим класс точности K_v, проверить их соответствие нормальному закону распределения, исключить анормальные результаты измерений, вычислить наиболее вероятное значение измеряемой величины и его суммарную ошибку.

Варианты заданий приведены в таблице А.2.

Задание 2

С применением метода наименьших квадратов по выборочным данным эксперимента (таблица А.3) построить график зависимости y = f[x], которая аппроксимирует выборочные данные.

Задание 3

Разработать измерительный канал с преобразователем перемещения – код для ротационного фотоэлектрического датчика Д, обеспечивающего контроль параметров движения рабочего органа Р₀ (рис. 1) по координатам положения и скорости. При расчетах принять шаг винта S_в = 10 мм.

Исходные данные приведены в Приложении А.4.

При разработке измерительного канала решить следующие задачи:

1. Определить необходимые коэффициенты передачи датчика для контроля положения N_дп и скорости N_дс.

2. Построить разрядную сетку преобразователя.

3. Разработать функциональную схему преобразования последовательности импульсов в код.

Рисунок 1 – Кинематическая схема привода

Задание 4

Разработать канал аналого-цифрового преобразования (АЦП) температуры в диапазоне D_t с приведенной погрешностью _t. Выбрать датчик и составить функциональную схему канала. Варианты заданий даны в табл. А.5.

2 Методика выполнения

2.1 Обработка результатов измерений

Дана выборка n = 9 результатов измерений: 75,2; 74,8; 75,0; 76,2; 75,1; 74,8; 74,7; 74,6; 75,0.

Вольтметр имеет класс точности K_v = 0,2 и шкалу от 0 до U_vn = 150В.

Для проверки соответствия выборочных значений (вариантов) нормальному закону распределения и исключения анормальных наблюдений применим графоаналитический метод: для данных наблюдений построим график эмпирического распределения. Если точки этого графика будут расположены приблизительно на прямой линии, можно будет принять гипотезу о нормальном распределении выборочных значений и применить аппарат математической статистики для оценки результата и статистической ошибки.

Упорядочим выборку, разместив результаты измерений в порядке их возрастания. При этом для повторяющихся значений укажем только их количество m_j. После этого вычислим интеграл Лапласа и по таблице А.6 найдем значение функции .

Интеграл Лапласа вычисляется по формуле , где – накопленная частота на j-м значении.

Результаты вычислений сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Номер значений	Xj	mj	Mj	Ф(Zj)	Zj (по табл. А.6)
1	74,6	1	1	-0,4	-1,28
2	74,7	1	2	-0,3	-0,84
3	74,8	2	4	-0,1	-0,25
4	75,0	2	6	0,1	0,25
5	75,1	1	7	0,2	0,52
6	75,2	1	8	0,3	0,84
7	76,2	1	9	0,4	1,28

Значения m_j и M_j определяются простым подсчетом значений.

Интеграл Лапласа:

j = 1; Ф(Z₁) = -0,5 = -0,4;

j = 2; Ф(Z₂) = -0,5 = -0,3;

j = 3; Ф(Z₃) = -0,5 = -0,1;

j = 4; Ф(Z₄) = -0,5 = 0,1;

j = 5; Ф(Z₅) = -0,5 = 0,2;

j = 6; Ф(Z₆) = -0,5 = 0,3;

j = 7; Ф(Z₇) = -0,5 = 0,4;

Определив значения Z_j по табл. А.6, построим график функции Z_j = f(x_j) (рис.2).

Как видно из графика, точка 7 является анормальным результатом, так как находится на значительном удалении от прямой, проходящей через множество точек j = 1…6.

Произведем проверку этого вывода. Определим среднее арифметическое:

.

Найдем среднеквадратическое значение:

S=

Определим показатель анормальности

,

где x_ан – анормальный результат.

.

По табл. А.7 для n = 9 при уровне вероятности P = 0,95 находим допустимое значение t_ = 2,30.

Поскольку V > t_, результат x_j = 76,2 является анормальным, и его следует исключить.

Далее обработку результатов производим для n = 8 (без x₇).

Определим среднее арифметическое значение результатов, как наиболее вероятное:

.

Определим среднеквадратичное значение

.

Значение – критерия Стьюдента, определяющего границу случайной ошибки результата,

ε_сл = t_γ·S_x,

определим по табл.А.8 для n = 8 и доверительной вероятности P = 0,95:

= 2,37.

Тогда ε_сл = 2,37·0,07 = 0,17В.

Инструментальная ошибка прибора, определяемая классом точности прибора, равна

.

Общая ошибка относительно наиболее вероятного результата будет определяться в зависимости от соотношения ε_и/S_x. Если ε_и/vS_x<0,8, то ε_и можно пренебречь, так как она поглощается случайной ошибкой ε_сл. Если ε_и/S_x>8, то тогда можно пренебречь ε_сл.

В нашем случае

.

Определим общую ошибку по формуле

Δх = k S_Σ,

где – коэффициент приведения ошибок;

– суммарное среднеквадратическое отклонение.

Вычислим коэффициент приведения случайной и инструментальной ошибок

.

Вычислим S_Σ:

.

Тогда суммарная ошибка равна

Δx = 1,96·0,18 = 0,35В.

Итак, результат измерения при доверительной вероятности P = 0,95 равен

U = (74,9 ± 0,35) B.

2.2 Применение метода наименьших квадратов для определения коэффициентов линейной функции

По результатам совместных измерений параметров x и y определить функцию

,

для которой отклонения от экспериментальных данных

будут минимальны по критерию Е²:

.

Решение

Исходные данные приведены в табл.2.

Таблица 2

i	1	2	3	4	5	6
xi	0	2	4	6	8	10
yi	7,2	7,4	8,4	9,3	11,8	12,5

Для решения задачи применяем метод наименьших квадратов (МНК).

Так как в точке x₁= 0 y ≠ 0 и при равномерном шаге Δх_i = 2 прироста функции х функция y изменяется приблизительно линейно, принимаем линейную аппроксимацию результатов измерений функцией

y_(x) = a₀ + a₁x.

В этом случае отклонения результатов эксперимента y_i от расчетных значений описываются выражением

.

Тогда условие минимума Е² принимает вид

.

Достижение этого условия возможно только путем изменения коэффициентов а₀ и а₁. Учитывая, что производная для минимума функции ошибки должна быть равна нулю относительно расчетных коэффициентов а₀ и а₁, запишем:

(1)

Произведя суммирование и перестановку, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

(2)

Для упрощения расчетов введем обозначения:

– среднее значение аргументов;

– среднее значение квадратов аргументов;

– среднее значение функции;

– среднее значение произведений функции и аргументов.

Тогда система уравнений (2) преобразуется в следующую систему:

(3)

Искомые значения коэффициентов определяются решением системы уравнений (3):

Вычислим неизвестные для заданных условий:

1

2

3

4

Вычислим коэффициенты:

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

y = 6,45+0,59x.

Построим график этой функции (рис.3).

Рисунок 3 – График функции

Доверительные границы коэффициентов определяются интервалом

где j = 0,1…m – порядковый номер коэффициента;

t_γ – критерий Стьюдента, определяемый для доверительной вероятности Р = 0,95 или Р = 0,99 и числа степеней свободы n – m (в нашем случае 6 – 1 = 5);

σ_аj – среднеквадратическое отклонение коэффициентов, получаемое в результате обработки нескольких выборок.

Учитывая, что задана одна выборка, доверительная граница коэффициентов не определена.