12.Глобальные свойства непрерывных отображений.

Определение 9. Отображение f : X →R^m, X €Rⁿ называется равномерно непрерывным на множестве X, ес­ли для > 0 > 0 : х',х'' €X, удовлетворяющих неравенству p_n(x',x") < , будет выполняться неравенство

p_m((f (x'),f (x")) < .

Теорема 12. Отображение f : X → R^m, X € Rⁿ равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций f_i, i = 1,m равномерно непрерывна на X.

Определение 10. Множество X € Rⁿ называется линейно связным, если для любой пары точек х',х'' €X существует путь Г : J → X, J € R с носителем в X и с концами в этих точках.

Определение 11. Областью в Rⁿ называется открытое линейно связное множество пространства Rⁿ.

Теорема 13. Если отображение f : X → R^m, X € Rⁿ непрерывно на компакте X € Rⁿ, то оно равномерно непрерывно на X

Теорема 14. Если отображение f : X → R^m, X € Rⁿ непрерывно на компакте X €Rⁿ, то оно ограничено на X.

Теорема 15. Если функция f : X → R, X € Rⁿ непрерывна на компакте X € Rⁿ, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения.

Теорема 16. Пусть функция f : X → R, X € Rⁿ непрерывна на линейно связном множестве X € Rⁿ. Если a,b € X и f (a) = A, f (b) = B, то C лежащего между A и B существует точка c € X, в которой f (c) = C.

13. Линейные отображения.

Определение 1. Отображение f : Rⁿ — R^m называется линейным, если для любых двух векторов х', х'' € Rⁿ и любых двух чисел λ, μ € R выполняется равенство

f (λ х' + μ х") = λ f (х') + μ,f (x").

Пусть {e₁,..., e_n} и { ₁,..., _m} — фиксированные базисы пространств Rⁿ и R^m соответственно. При отображении f образ вектора e_j, j = 1,п является вектором в пространстве R^m и раскладывается по координатным векторам _i, i = 1,m:

В силу линейности отображения f можно найти разложение по фиксированному базису {e_i, . . . , e_m} образ f(x) любого вектора x = x_ie_i + - - - + x_ne_n € Rⁿ. А именно

или в координатной записи f(x) = (fi(x), . . . , fm(x)) , где

fi(x) = a₁₁x₁+ + a_1nX_n

Таким образом, отображение f : Rⁿ — R^m можно рассматривать как набор f = (f₁, . . . , f_m) из m координатных функций f₁: Rⁿ — R, i = 1,m. И заключаем, что отображение f линейно тогда и только тогда, когда каждая координатная функция f_i : Rⁿ — R, i = 1,m линейна.

Опр. Матрица А= ) называется матрицей линейного отображения f.

Теорема 17. Если f : Rⁿ — R^m, g : Rⁿ — R^m линейные отображения с матрицами A и B соответственно, то λf + μg, где λ, μ — произвольные числа, является линейным отображение с матрицей C = λA + μB.

Теорема 18. Если f : Rⁿ — R^m, g : R^m — R^s линейные отображения с матрицами A и B соответственно, то их композиция = g о f является линейным отображением : Rⁿ — R^s с матрицей C = B • A.

14. Дифференцируемые отображения.

Определение символов О,о. Наличие нормы позволяет сравнивать по величине значения отображений f : X — R^m, g : X — R^k, X € Rⁿ.

Определение 1. Будем писать f (x) = o(g(x)) или f = o(g) при x → a, если ||f(x)|| R^m = o(||g(x)||R^k) при x→a, где a-предельная точка множества X, || ||R^m— норма в пространстве R^m.

Дифференцируемость отображения в точке.

Определение 2. Отображение f : X → R^m, X С Rⁿ, определенное на множестве X, называется дифференцируемым в точке x € X, предельной для множества X, если

f (x + h) — f (x) = L(x) h + α(x; h), (1)

где L(x) : Rⁿ → R^m — линейное относительно h отображение, а α(x; h) = o(h) при h — 0, x + h € X.

Векторы Ax(h) = (x + h) — x = h, ∆f (x; h) = f (x + h) — f (x) называются соответственно приращением аргумента и приращением функции (отвечающим этому приращению аргумента). Эти векторы по традиции обозначают символами ∆x и ∆f(x). По аналогии со случаем функции одной переменной в (1) записано L(x) h вместо L(x)(h).

Линейная функция L : Rⁿ →R^m в соотношении (1) называется дифференциалом, касательным отображением отображения f : X → R^m в точке x € X.

Дифференциал отображения f : X — R^m в точке x € X обозначается символами df (x), Df (x). Матрица df (x) называется производной отображения f в точке x и обозначается f '(x).

В соответствии с введенными обозначениями, соотношение (1) можно переписать в виде

f (x + h) — f (x) = f '(x)h + α(x; h) или ∆f (x; h) = f'(x)h + o(h), h → 0. Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях h от рассматриваемой точки x € Rⁿ Обозначим через совокупность векторов исходящих из точки x. Векторное пространство называется касательным про­странством к Rⁿ в точке x. Значение дифференциала отображения f на векторе h € есть вектор f'(x)h € , приложенный к точке f (x) и аппроксимирующий приращение f (x + h) — f (x) функции, вызванное приращением h аргумента x. Следовательно df (x) есть линейное отображение df (x) : — .

Итак, в полном соответствии с уже изученным одномерным случаем, функция многих переменных с векторными значениями дифференцируема в точке, если ее приращение ∆f (x; h) в этой точке как функция приращения аргумента h линейно по h с точность до поправки (x; h), бесконечно малой при h → 0, в сравнении с приращением аргумента.