- •Глава 12. Элементы теории поверхностей.
- •§1. Ориентация поверхности.
- •§2. Поверхностный интеграл II –го рода.
- •§3. Формула остроградского – гаусса.
- •§ 4. Формула стокса.
- •§ 5. Условия независимости криволинейного интеграла II-го рода от формы пути интегрирования. Потенциальные и векторные поля.
- •§ 6. Векторные операции II-го порядка. Символика гамильтона.
Глава 12. Элементы теории поверхностей.
Раннее мы встречались с поверхностями, задаваемыми либо в явном виде z=f(x,y), либо в неявном виде F(x,y,z)=0.
Рассмотрим более общий случай задания поверхности.
Df.1 Пусть - область, - замыкание области.
Поверхностью П в пространстве непрерывное отображение области в пространство :
V z П
U y
x
Df.2 Пусть П задана …..(1), . Тогда поверхность класса , если имеет в области непрерывные производные до «n – го» порядка включительно, т.е.:
или ; .
Уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям:
(2)
. Уравнения (1) и (2) называются параметризацией поверхности П. Напомним, что под производными понимаются вектора:
(3)
Более сокращенно
Также определяются производные высших порядков , где .
Пусть . Составим матрицу Якоби.
(4)
Матрица Якоби отображение .
Df.3 П называется гладкой, если и . Т.к. линейная независимость строк не коллинеарны, т.е. .
Но (5)
А, В, С – миноры матриц второго порядка.
Тогда . Рассмотрим точку , причем .
Если зафиксировать , то получим параметрическое уравнение линии:
(6)
При фиксированном , получаем линию:
(7)
Линии (6) и (7) образуют два семейства линий на поверхности П.
(Сравним с отображением плоских областей).
V z
Как известно касательные вектора к этим линиям в точке получены следующим образом: к линии
К линии
Для касательной плоскости – эти вектора направляющие нормальный вектор:
(8)
НАПРИМЕР.
,
(9)
П
0
D
x
Кроме гладких поверхностей будем рассматривать кусочно-гладкие.
Df.4 П – называется кусочно-гладкой поверхностью, если можно разбить на конечное число гладких поверхностей. Причем эти части имеют общими только куски границы.