Тема 7. Розрахунок трьохшарнірних систем на рухоме навантаження

Для побудови ліній впливу опорних реакцій розмістим на трьохшарнірній арці одиничну вертикальну силу Р=1 на віддалі х від лівої опори (рис. 7.1,а) і складемо рівняння моментів всіх сил відносно опорних шарнірів:

, ,звідки .

, ,звідки .

Вирази V_A і V_B співпадають з виразами опорних реакцій для простої балки. Значить лінії впливу V_A і V_B нічим не відрізняються від ліній впливу опорних реакцій простої балки на двох опорах, які показані на рис. 7.1,б,в.

Рис.7. 1

Розпор Н визначається з рівняння Н=М^о_с /f, з якого видно, що лінія впливу Н має такий же вигляд, як лінія впливу балочного моменту М^о_с в шарнірі С і відрізняється від нього тільки постійним множником 1/f. Вона показана на рис. 7.1,г.

Для побудови лінії впливу згинального моменту М_К в даному перерізі К з координатами центра перерізу х_к і у_к використовуємо формулу

.

При конкретних значеннях по вказаній формулі легко визначаються ординати характерних точок лінії впливу згинаючого моменту М_К в слідуючому порядку:

-будуємо лінію впливу балочного моменту в перерізі К;

-будуємо лінію впливу розпору Н, перемножаючи заздалегідь значення ординат на величину у_к.;

-обчислюємо ординати лінії впливу М_К як різниці ординат лінії впливу і лінії впливу Ну_к.

Порядок побудови лінії впливу показаний на рис. 7.2.

При побудові лінії впливу поперечної сили qk для перерізу к арки використаємо вираз

,

де - - поперечна сила в перерізі К простої двопролітної балки ;

– кут між дотичною до осі арки в точці К і горизонталлю.

Згідно записаної формули виконємо побудову лінії впливу Q_K в слідуючому порядку:

- будуємо лінію впливу ;

- будуємо лінію впливу ;

- значення ординати лінії впливу Q_K отримаємо як різниця значень ординат побудованих ліній впливу.

Для побудови лінії впливу поздовжньої сили N_K в даному перерізі К арки використаємо формулу

.

Використовуючи прийом графічного сумування або аналітично за формулами обчислюються ординати лінії впливу N_K.

Побудова ліній впливу за допомогою нульових точок.

Вивчаючи лінії впливу внутрішніх зусиль не важко помітити, що всі вони мають нульові точки в межах прольоту для Мк і Qк або точку, що лежить за межами прольоту для N_K.

Наявність нульової точки на лінії впливу говорить про те, що зусилля в перерізі К дорівнює нулю в той момент, коли одинична сила знаходиться над цією точкою.

Рис.7.2

Якщо наперед знати положення цієї точки (положення одиничного вантажу), то побудова ліній впливу спрощується.

Визначимо положення цієї точки на лінії впливу М_К.

Напрямок реакцій відомий. Для того, щоб М_К =0, R_A – повинна проходити через точку К , а реація R_В – через кльючовий шарнір С. Під точкою перетину F буде знаходитись нульова точка F_m лінії впливу М_К (рис. 7.2,а).

Тема 8. Загальні методи визначення переміщень

8.1.Робота зовнішніх сил

Плавне (поступове) прикладання навантаження називається статичним. Визначимо роботу зовнішнього навантаження, наприклад сили Р, статично прикладеної до деякої пружної системи (рис. 8.1), матеріал якої задовільняє закону Гука. При малих деформаціях до цієї системи застосуємо принцип незалежності дії сил і, отже, переміщення окремих точок і перерізів конструкції прямо пропорційні величині тим навантаженням, що їх викликає. В загальному вигляді ця залежність може бути виражена рівністю:

де - переміщення в напрямку сили Р;

- коефіцієн що залежить від матеріалу, схеми, розмірів споруди.

При збільшені сили Р на безкінечно малу величину dP переміщення збільшується на величину .Тоді робота цієї сили буде:

При заміні

Інтегруючи цей вираз в границях повної зміни сили від нуля до її кінцевого значення, отримуємо:

,

так, як то

Рис.8.1.

В загальному випадку напрямок сили Р може не співпадати з напрямком викликаного нею переміщення. Оскільки величина роботи визначається добутком сили на шлях, пройдений по напрямку цієї сили, то під величиною  завжди необхідно розуміти проекцію дійсного (повного) переміщення точки прикладання сили на напрямок сили. Наприклад, при дії сили Р під кутом β до горизонтальної осі балки (рис. 8.1) переміщення  буде вимірюватися відрізком аЬ (що є проекцією дійсного переміщення на напрямок сили Р).

У випадку, коли до системи прикладена пара сил з моментом М (зосереджений момент), вираз роботи може бути отриманий аналогічним чином. При цьому необхідно вибрати відповідний зосередженому моменту вид переміщення - це буде кут повороту того перетину бруса, до якого прикладений момент.Тоді робота моменту, статично прикладеного до балки, дорівнює

А=М/2,

де  — кут повороту (в радіанах) того перетину балки, до якого прикладений момент М.

Отже, робота зовнішньої сили при статичній дії її на споруду дорівнює половині добутку значення цієї сили на величину відповідного їй переміщення.

При статичній дії на споруду групи зовнішніх сил робота цих сил дорівнює півсуми добутку кожної сили на велияину відповідного її переміщення, визване дією всієї групи сил.

Для узагальнення отриманого висновку умовимося під терміном сила розуміти будь-яку дію, прикладену до пружної системи, тобто будь-яку групу сил, яку надалі будемо називати «узагальненою силою».

Під терміном переміщення будемо розуміти той вид переміщення, на якому «узагальнена сила» виконує роботу.

Роботу зовнішніх сил на їх переміщеннях можна визначити і через внутрішні зусилля М, Q, N, які виникають в поперечних перерізах стержнів конструкцій. Виділим із стержня двома перерізами безкінечно малий елемент довжиню dx (рис 8.2,а). До нього при дії сил, розміщених в одній площині, прикладені М, Q, N.

Рис. 8.2.

Ці зусилля є внутрішніми по відношенню до цілого стержня. Але для виділеного єлемента вони є зовнішніми силами і тому роботу А можна отримати як інтегральну суму робіт від зусиль М, Q, N на відповідних деформаціях елементів dx.

Елемент dx який знаходиться під дією тільки поздовжньої сили N показаний на рис.8.2. При нерухомому лівому перерізі правий переріз під дією сили N переміститься вправо на величину:

-де ЕF-жорсткість поперечного перерізу стержня при розтягу (стиску).

Тоді робота статично прикладеної поздовжньої сили N на цьому переміщенні дорівнює:

.

Аналогічно можна отримати вирази для робіт при дії:

-згинальнго моменту М:

,

де ЕІ - жорсткість поперечного перерізу стержня при згині;

-поперечної сили Q:

,

де GF - жорсткість поперечного перерізу стержня при зсуву;

-1,2- безрозмірний коефіцієнт для прямокутного перерізу;

-- безрозмірний коефіцієнт для круглого перерізу.

При одночасній дії на виділений елемент М, Q, N робота кожної з цих сил на переміщеннях, визваних іншими силами, дорівнює нулю. Тому повна робота дорівнює:

.

Інтегруючи вираз dA в границях довжини кожної ділянки всіх стержнів та проводячи сумування по всіх ділянках системи одержуємо слідуючу формулу для визначення роботи зовнішніх сил:

,

або

.