1. Передаточные функции элементов системы (звеньев)

Электромагнитный усилитель.

Из уравнения элемента

получим передаточную функцию

.

Электродвигатель с редуктором.

Из уравнения элемента

получим передаточную функцию

.

Чувствительный элемент состоит из задающего и принимающего потенциометров (безынерционные звенья). Передаточная функция потенциометра .

Структурная схема системы управления будет выглядеть следующим образом:

Проведем преобразования структурной схемы. Перенесем сумматор с правой стороны задающего потенциометра (k_П) в левую, добавив в цепь обратной связи звено . Получим

После подстановки значений передаточных функций получим структурную схему САУ

Объединим последовательно соединенные звенья

Передаточная функция эквивалентного звена является передаточной функцией разомкнутой системы и рассчитывается по формуле

= = = ,

где k = k_П k₁ k₂ = 1∙500∙0,1 = 50.

В общем виде

W_p(p) = ,

где a₀́ = 0; a₁́ = 1; a₂́ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

a₃́ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; b₀́ = k = 50.

Передаточная функция замкнутой системы

W(p) = = = .

В общем виде

W(p) = ,

где a₀ = k = 50; a₁ = 1; a₂ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

a₃ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; b₀ = k = 50.

Передаточная функция по ошибке

W_(p) = 1 – W(p) = = .

2. Построение частотных характеристик

Аналитические выражения для частотных характеристик замкнутой системы получают из комплексной передаточной функции W(j):

АЧХ – модуль комплексной передаточной функции: A()= |W(j)| ;

ФЧХ – аргумент комплексной передаточной функции: () = arg(W(j)) .

Передаточная функция замкнутой системы в общем виде

W(p) = .

Комплексную передаточную функцию получим, подставив p = j:

W(j) = .

Одним из возможных путей получения функций АЧХ и ФЧХ является следующий. Обозначим:

P_b() = b₀ – действительная часть числителя,

Q_b() = 0 – мнимая часть числителя,

P_a() = a₀ – a₂  ² – действительная часть знаменателя,

Q_a() = a₁  – a₃  ³ – мнимая часть знаменателя,

тогда

W(j) = .

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим последнее выражение на .

W(j) = ∙ = = = = P() + jQ(),

где

P() = ,

Q() = .

Амплитуда – модуль комплексной передаточной функции:

A() = | W(j) | = .

Фаза – аргумент комплексной передаточной функции:

() = arg(W(j)) =

По полученным формулам рассчитаем P_a(), P_b(), Q_a(), Q_b(), P(), Q(), A(), () при изменении  от 0 до 90º, занесем данные в табл. 2 и построим зависимости A() и () (если фаза получается положительной, на графике откладываем ()–2). Диапазон изменения частоты выбирается таким, чтобы показать все особенности частотных характеристик.

Таблица 2

Расчетные данные для частотных характеристик

, с^-1	Pa	Pb	Qa	Qb	P	Q	A	, рад
0	50	50	0	0	1	0	1	0
5	47.38	50	4.938	0	1.044	-0.109	1.050	-0.103
10	39.5	50	9.5	0	1.197	-0.288	1.231	-0.236
15	26.38	50	13.31	0	1.511	-0.763	1.692	-0.467
20	8	50	16	0	1.25	-2.5	2.795	-1.107
25	-15.63	50	17.19	0	-1.448	-1.593	2.152	-2.308
30	-44.5	50	16.5	0	-0.988	-0.3663	1.053	-2.786
35	-78.63	50	13.56	0	-0.618	-0.1065	0.626	-2.970
40	-118	50	8	0	-0.422	-0.0286	0.422	-3.074
50	-212.5	50	-12.5	0	-0.234	0.0138	0.234	-3.200
70	-464.5	50	-101.5	0	-0.103	0.0225	0.105	-3.356
90	-800.5	50	-274.5	0	-0.056	0.0192	0.059	-3.471

Рис. 3. Частотные характеристики замкнутой системы

Частотные характеристики системы показаны на рис. 3. Аналогично построим логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы (рис. 4). Значения ЛАЧХ рассчитываются из выражений

L_P() = 20 log (A_P());

_Р() = arg(W_P(j)).

Рис. 4. ЛЧХ разомкнутой системы

Для построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде произведения передаточных функций типовых звеньев:

W_p(p) = = k .

Число интегрирующих звеньев (порядок астатизма)  = 1.

k = 50; T₁ = 0,005 c; T₂ = 0,1 c.

Определим логарифмическую амплитуду при частоте ω=1:

L_p(1) = 20 log k = 34.

Таблица 3

Данные для асимптотической ЛАЧХ

Wi(p)	тип звена	Ti, с	i, с^–1	Изменение наклона, дБ/дек	Суммарный наклон, дБ/дек
			начальный наклон		– 20
	Интегрирующее	0,1	10	– 20	– 40
	Интегрирующее	0,005	200	– 20	– 60

Полученные данные (табл. ) позволяют построить асимптотическую ЛАЧХ (рис. 5).

Рис. 5. Асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы