5.4. Области устойчивости асу
При помощи критериев устойчивости можно установить факт устойчивости или неустойчивости АСУ, все параметры которой заданы. Однако часто при проектировании и наладке АСУ возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых варьируемых параметров системы. В качестве таких параметров обычно рассматривают коэффициенты и постоянные времени управляющего устройства (регулятора), которые можно целенаправленно изменять при настройке системы. Так как эти коэффициенты и постоянные времени однозначно определяют коэффициенты характеристического уравнения системы, то последние так же могут служить варьируемыми параметрами.
Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости.
Область устойчивости АСУ – область в пространстве варьируемых параметров АСУ, каждой точке которой соответствуют только корни характеристического уравнения с отрицательными действительными частями (располагающиеся в левой части комплексной плоскости).
Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива.
Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.
Вид области устойчивости и ее границы определяется числом варьируемых параметров. Так при одном варьируемом параметре область устойчивости – отрезок прямой, а граница – точки 1 и 2 по концам этого отрезка (рис.5.3, а). При двух варьируемых параметрах и область устойчивости – часть плоскости, а граница – например, линия АВ, часть ОА оси параметра и положительная ось параметра (рис. 5.3, б). Граница со стороны области устойчивости штрихуется.
Рис. 5.3. Области устойчивости АСУ
а – при одном варьируемом параметре; б – при двух варьируемых параметрах
Для отыскания границы области устойчивости можно воспользоваться одним из критериев устойчивости, например, критерием Гурвица, а можно и другими способами, например, методом D-разбиения.
Определим, например, область устойчивости АСУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка с одним варьируемым параметром ,
(5.18)
Воспользуемся критерием Гурвица. Согласно ему должны выполняться условия (5.17)
(5.18)
Откуда искомая область устойчивости
(5.19)
Определим так же, например, область устойчивости АСУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка с двумя варьируемыми параметрами и
(5.20)
Воспользуемся критерием Гурвица. Согласно ему должны выполняться условия (5.17)
(5.21)
Откуда искомая область устойчивости
(5.22)
В графическом виде эта область устойчивости представлена на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Область устойчивости АСУ в пространстве двух параметров