- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
Теорема 3.6. Размерность линейной оболочки строк (столбцов) матрицы А равна ее рангу.
Доказательство проведем для строк матрицы. Пусть , и пусть базисный минор матрицы А расположен в первых r ее строках. Обозначим, как и раньше, – строки матрицы А. Тогда по теореме о базисном миноре система линейно независима, и такие, что Дальше точно так же, как и при доказательстве теоремы 3.5, показываем, что - система образующих в , а значит, и базис, и поэтому . Для столбцов доказательство проводится аналогично.
11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
Определения. Пересечением подпространств и линейного пространства V над P называется его подмножество
Суммой подпространств и называется подмножество
Сумма подпространств называется прямой и обозначается если .
Теорема 3.7. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства также являются его подпространствами.
►Пусть и – подпространства линейного пространства V над P. Тогда
Таким образом, выполняются условия теоремы 3.4, значит, – подпространство пространства V.
Докажем теперь, что сумма подпространств – подпространство. Действительно,
Итак, в этом случае условия теоремы 3.4 также выполняются, и поэтому, – также подпространство пространства V.
12. Теорема о размерности прямой суммы.
Теорема 3.8. Размерность прямой суммы подпространств равна сумме их размерностей.
►Пусть и – подпространства линейного пространства V над P, , и пусть
– (3.38)
базис , а
– (3.39)
базис . Покажем, что
– (3.40)
базис .
Действительно, : , .Кроме того,
Тогда , значит, ,
и, таким образом, (3.40) – система образующих в .
Линейную независимость (3.40) докажем на основании определения.
. (3.41)
Вектор в левой части (3.41) принадлежит пространству , а в правой – пространству . Так как сумма прямая, то , поэтому
На основании линейной независимости (3.38) и (3.39), получаем , откуда и вытекает линейная независимость (3.40). Таким образом, (3.40) – линейно независимая система образующих пространства , а значит, и его базис, и поэтому
.
13. Определение матрицы перехода и её свойства.
Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(3.41)
и
. (3.42)
Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,
(3.43)
Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:
(3.44)
(оцените красоту записи!)
Введем следующие обозначения:
(подчеркиваем, что это матрицы-строки)
.
Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что
. (3.45)
Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).