Домашнее задание № 2 по дисциплине сав (6 семестр)

«Метод поиска минимума функции многих переменных с использованием методов решения нелинейных уравнений».

Сущность задания

Домашнее задание предполагает исходя из необходимых условий минимума для функции многих переменных решение соответствующей системы нелинейных уравнений с использованием методов вычислительной математики. Одна из групп корней системы нелинейных уравнений и является точкой минимума.

Цель задания

Изучение численных методов нахождения экстремума функции многих переменных и методов решения систем нелинейных уравнений.

Задание

1. Найти минимум функции многих переменных согласно варианта и метода решения систем нелинейных уравнений, выданного преподавателем.

2. В соответствии с выданным вариантом необходимо написать программу решения системы нелинейных уравнений.

3. Выполнить решение системы нелинейных уравнений.

4. Сравнить полученное решение с тем, которое может быть найдено при использовании встроенных в MATLAB «решателей».

5. Сделать соответствующие выводы и заключения.

Приборы и оборудование

1. Компьютер, совместимый с IBM PC, 256 Мб. ОЗУ.

2. Операционная система WINDOWS *.

3. Математический пакет MATLAB Version 6.*, 7.*.

4. Среда разработки приложений Visual Studio Version *.

Содержание отчёта

1. Краткое описание метода решения системы нелинейных уравнений.

2. Структурная схема алгоритма.

3. Листинг (скрипт) программы.

4. Результаты вычислений.

Краткие сведения о решении систем нелинейных уравнений

1. Векторная запись нелинейных систем уравнений. Метод простых итераций

Пусть требуется решить систему уравнений

, (1)

где , ,…, – заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественнозначные функции вещественных переменных .

Обозначив

, , ,

данную систему (1) можно записать одним уравнением.

(1a)

относительно векторной функции F векторного аргумента .

Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения .

Начнем изучение методов решения нелинейных систем с наиболее простого метода.

Пусть система (l) имеет вид (преобразована к виду):

(2)

или иначе, в компактной записи,

, (2а)

где

.

Для этой задачи о неподвижной точке нелинейного отображе­ния запишем формально рекуррентное равенство

, (3)

которое определяет метод простых итераций (МПИ) (или метод последовательных приближений) для задачи (2).

Если начать процесс построения последовательности с некоторого вектора и продолжить по формуле (3), то при определенных условиях эта последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору – неподвижной точке отображения . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция и замкнутое множество таковы, что:

1. ;

2. 

Тогда имеет в единственную неподвижную точку ; последовательность , определяемая МПИ (3), при любом сходится к и справедливы оценки

.

Однако практическая ценность такой теоремы не так велика из-за неконструктивности ее условий. В случаях, когда имеется хорошее начальное приближение к решению , больший интерес для приложений может представить следующая теорема

Теорема 2. Пусть функция дифференцируема^* в замкнутом шаре^** причем . Тогда, если центр и радиус шара , таковы, что , то справедливо заключение теоремы 1 с .

Учитывая, что в линейном случае, как правило, по сравнению с МПИ более эффективен метод Зейделя, здесь может оказаться полезной подобная модификация. А именно, вместо (3) можно реализовать следующий метод покоординатных итераций:

(4)

Заметим, что как и для линейных систем, отдельные уравнения в методе (4) неравноправны, т.е. перемена местами уравнений системы (2) может изменить в каких-то пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимостью последовательности итераций. Чтобы, применить метод простых итераций (3) или его зейделеву модификацию (4) к исходной системе (1), нужно, как и в скалярном случае, сначала тем или иным способом привести ее к виду (2). Это можно сделать, например, ум­ножив (1а) на некоторую неособенную -матрицу – и прибавив к обеим частям уравнения – вектор неизвестных . Полученная система

эквивалентна данной и имеет вид задачи о неподвижной точке (2а). Проблема теперь, состоит лишь в подборе матричного параметра такого, при котором вектор-функция обладала бы нужными свойствами.