РАСЧЕТНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

	vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
	ζ =	c	=		c		(7)
		cc		2mωn
	В зависимости от значения степени демпфирования характер движения мас-
	сы на рисунке 1 можно подразделить на три случая: (1) колебательное движение
	- когда ζ <1,0 ; (2) неколебательное движение – когда ζ >1,0 и (3) движение при
	критическом демпфировании – когда ζ =1,0 . В последнем случае общее реше-
	ния уравнения движения системы имеет вид:				x = (A + Bt) e−ωnt .

Вязкое демпфирование можно использовать при любой форме возбуждения. Наиболее общая форма вязкого демпфирования есть рэлеевское демпфирование,

представляемое в виде:
c = αm +βk	(8)

Кулоновское, или фрикционное демпфирование Кулоновское демпфирование имеет место при скольжении двух сухих по-

верхностей. Демпфирующая сила равна произведению нормального усилия на коэффициент трения μ и считается не зависящей от скорости, лишь только дви-

жение начнется. Поскольку демпфирующая сила по знаку всегда противоположна скорости, дифференциальное уравнение движения для каждого её знака справедливо только на полупериоде:

mx +kx = −μN				(9)
	&&
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение
можно представить в виде:
x(t)= Acos	k t + B sin	k t −	μN	(10)
	m	m	k

Гистерезисное, или конструкционное демпфирование В основном, демпфирующие материалы представляют собой полимеры

(синтетические резины), состав которых надлежащим образом подобран, чтобы обеспечить высокие демпфирующие свойства в определенном диапазоне частот и температур. Когда материал деформируется, энергия поглощается и рассеива-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ется внутри самого материала. Этот эффект обусловлен трением между внутренними слоями, которые «текут» или скользят, когда имеет место деформирование. Когда конструкция с материальным демпфированием подвергается колебаниям, на диаграмме «напряжения – деформации» обнаруживается петля гистерезиса.

Поэтому материальное демпфирование называют также гистерезисным демпфированием. Площадь петли выражает потерю энергии в единице объема тела за один цикл вследствие демпфирования.

Чтобы пояснить гистерезисное демпфирование, мы сначала рассмотрим соотношение между откликом x и возбуждающей силой F 1) для вязкого демпфи-

рования. При гармоническом движении x = Xe−iωt соотношение между ними имеет вид:

F(t)= (k −iωc)x

(11)

Это проиллюстрировано на рисунке 2.

1) точнее, F - это сумма силы упругой и демпфирующей – прим. перев.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рисунок 2 – Петля гистерезиса для вязкого демпфирования

Равенство (12) дает энергию, рассеиваемую за один цикл колебаний; это есть площадь петли гистерезиса, изображенной выше.

W = ∫Im(F )d Im(x)= 2π∫/(ωωcX cosωt + kX sin ωt)(ωX cosωt)dt = πωcX 2	(12)
0

где «Im» - символ мнимой части комплексной величины.

Аналогично, при гистерезисном демпфировании имеется петля гистерезиса, образованная кривой «деформация – напряжение» или «перемещение – усилие» на одном цикле нагружения и разгрузки. Экспериментально найдено, что для большинства конструкционных металлов потеря энергии от внутреннего трения за один цикл не зависит от частоты, но примерно пропорциональна квадрату амплитуды. Чтобы получить наблюдаемое поведение по вышеприведенной формуле, эквивалентный коэффициент демпфирования ceq полагают обратно пропор-

циональным частоте:

	ceq =	h		(13)
		ω
	где h есть коэффициент гистерезисного демпфирования
	Подставляя (13) в формулу (12), получим для энергии, рассеиваемой при гис-
	терезисном демпфировании за один цикл колебаний:
	W = πhX 2			(14)

Моделирование демпфирующих свойств [5]

Фактор конструкционного демпфирования γ

Наряду с коэффициентом вязкого демпфирования c , коэффициентом гистерезисного демпфирования h и степенью демпфирования ζ для описания свойств демпфирующих материалов применяется ещё один весьма важный параметр – коэффициент конструкционного демпфирования.

Уравнение вынужденного движения для системы «пружина – масса» с гистерезисным демпфированием имеет вид:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

mx +ceq x +kx = f (t)

(15)

&&

&

Для гармонической задачи x = Xe−iωt оно принимает вид:

2

ω

−ω

−i 2

(16)

mx + k 1

ωn

ζeq x = f (t)

где

ζeq =

ceq

=

h

.

cc

2mωnω

При модальном демпфировании ω= ωn , и мы имеем:

(17)

mx + k(1−iγ)x = f (t)

&&

где

γ = 2ζeq

=

h

= h / k

есть так называемый фактор конструкционного

mωn2

демпфирования (structural damping factor), или модальная степень демпфирова-

ния2) (modal damping ratio).

Для вязкого демпфирования, аналогично, фактор вязкого демпфирования будет равен γ = 2ζ .

Комплексная жесткость Влияние полимерного материала на демпфирование всей конструкции зави-

сит как от жесткости этого материала, так и от его демпфированности. Эти два свойства удобно выражать через комплексный модуль Юнга E(1−iηE ) или ком-

плексный модуль сдвига G(1−iηG ); ηE и ηG обычно предполагаются равными для данного материала.

Когда материал подвергается циклическим напряжениям и деформациям с амплитудами σ0 и ε0 , максимальная запасенная энергия и рассеиваемая за один цикл энергия равны:

		Eε2
	Максимальная энергия, запасенная за цикл =	0	(18)
		2
	Энергия, рассеиваемая за цикл = πEηε02		(19)

2) (прим. перев.) Видимо, точнее, модальная степень демпфирования все же равна γ/ 2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
		h
Сравнив с равенством (17), видим, что комплексная жесткость k 1	−i		по-
		k

добна комплексному модулю E(1−iη) или G(1−iη). Определив фактор потерь

(loss factor) как η= h / k , комплексную жесткость можно представить в виде

k(1−iη). Величина η может варьироваться от 2 10−5 для чистого алюминия до

1,0 для твердой резины. Таким образом, фактор конструкционного демпфирова-

ния γ эквивалентен фактору потерь η. Фактор потерь – это величина, характери-

зующая демпфирующую способность материала.

Физический смысл фактора потерь можно пояснить следующим образом. Энергия, рассеиваемая за цикл в системе с конструкционным демпфированием:

	W = πhX 2 = πηkX 2 = 2πη	1	kX 2	= 2πη Um	(20)
		2

где Um - максимальная запасенная энергия упругой деформации.

Таким образом, мы имеем:

	η=	1 W		(21)
		2π Um

Из формулы (21) видно, что фактор потерь дает способ сравнивать демпфирование одного материала с другим. Это отношение величины энергии, рассеиваемой в системе при определенной частоте, к величине энергии, имеющейся в системе при этой же частоте. Чем большее демпфирование имеет материал, тем больше будет фактор потерь. Этот способ представления конструкционного демпфирования можно использовать только для анализа в области частот, когда возбуждение имеет гармонический характер [4].

Линейная математическая модель Многие нелинейные расчеты откликов систем с демпфированием выполня-

ются с использованием следующего аналитического представления петли гистерезиса:

r	ν	((ε0	+ε)n −2n−1ε0n )	(22)
σ = E ε−	n

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

s	ν	((ε0	−ε)n −2n−1ε0n )	(23)
σ = E ε+	n

где σr - напряжение на нагружающем участке цикла; σ - напряжение на разгружающем участке цикла; ν - коэффициент Пуассона; ε0 - начальная деформация;

n - безразмерный параметр, описывающий форму петли гистерезиса Альтернативная форма представления, несколько попроще, имеет следую-

щий вид:

r

ε

2

n

E

s

σ = E(ε) ε±η(ε)ε

0

1

−

, где E(ε)=

(24)

ε02

1+α

ε

β

Одно из наиболее широко используемых представлений уравнения состояния известно как «стандартная линейная модель», дающая следующее соотношение между напряжением и деформацией:

	σ+ a	dσ	= Eε+bE	dε	(25)
		dt		dt

Данное уравнение дает более сложное соотношение между напряжением и деформацией, чем закон Гука σ = Eε, либо простая комбинация «пружина –

демпфер», для которой σ = Eε+bE ddtε. Две константы a и b в уравнении (25) яв-

ляются параметрами релаксации напряжения и деформации соответственно. Если приложенное напряжение и деформация изменяются гармонически, то есть как σ = σ0e−iωt и ε = ε0e−iωt , то уравнение дает:

					1−iωb						1		+ω2ab				b −a
σ	0	= Eε	0			;	σ	0	= Eε							−iω					(26),(27)
													2		2		2
				1−iωa						0	1			a				a	2
													+ω				1+ω

Из формул (26),(27) можно видеть, что фактор потерь, как правило, зависит от частоты. Модуль упругости также зависит от частоты, если константа a не равна нулю.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Демпфирование колебаний в программе ANSYS [6]

В ANSYS матрица демпфирования [С] может использоваться в гармониче-

ском, модальном и динамическом анализе с демпфированием, а также при создании суперэлементов (substructure). В наиболее общей форме она имеет вид:

[С]= α[M ]+β[K ]+	Nmat	βj [K j ]+βc [K ]+[Cζ ]+	Nele	[Ck ]	(28)
	∑		∑
	j=1		k =1

где α - постоянный множитель к матрице масс (задается командой ALPHAD);

β - постоянный множитель к матрице жесткости

(задается командой BETAD);

βj - постоянный множитель к матрице жесткости, зависящий от материала

(задается командой MP,DAMP ). Отметим, что когда используется демпфирование в зависимости от материала, то для различных видов анализа команда MP,DAMP задает разные параметры демпфирования. Например, в спектральном анализе MP,DAMP задает зависящую от материала степень демпфирования (damping ratio) ζ j , а не множитель βj ( Nmat - число материалов с демпфирова-

нием).

βc - переменный множитель к матрице жесткости (применим в гармониче-

ском анализе, используется для обеспечения постоянства степени демпфирования ζ, вне зависимости от частоты ω):

	βc =	ζ	=	2ζ	=	η 3)	(29)
		πf		ω		ω

где ζ - постоянная степень демпфирования (constant damping ratio) (зада-

ется командой DMPRAT). Согласно (29), ζ должна быть равна η/ 2 ;

η- фактор потерь;

3)(прим. перев.) Для гармонических колебаний с одной степенью свободы матрицы жесткости

и демпфирования превращаются в коэффициенты k и с соответственно, так что, согласно (16), k(2ζ/ ωn )(−iωx)= сx& и, следовательно, с =βсk , где βс = 2ζ/ ωn = η/ ωn

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

f - частота, в гармоническом анализе изменяется в интервале от начальной частоты ( fb ) до конечной ( fe ).

[Cζ] - матрица демпфирования, зависящая от частоты; [Cζ] может быть вы-

ражена через ζr - степень демпфирования для r -ой собственной моды, но нико-

гда не вычисляется явно:

{ur }T [Cζ ]{ur }= 4πfrζr

(30)

где fr - частота, связанная с r -ой собственной модой;

{ur } - вектор перемещений, описывающий форму для r -ой собственной моды;

ζr = ζ +ζmr

(31)

где ζ - постоянная степень демпфирования (заданная командой DMPRAT);

ζmr - модальная степень демпфирования (modal damping ratio) для r -ой собст-

венной моды (задается командой MDAMP);

[Ck ] - матрица демпфирования отдельного k -го элемента ( Nele - число элемен-

тов, имеющих собственную матрицу демпфирования).

Рэлеевское демпфирование α и β Наиболее общая форма задания демпфирования – это так называемое рэле-

евское демпфирование вида [С]= α[M ]+β[K ]. Достоинством такого представле-

ния является то, что в модальных координатах матрица принимает вид:

		[		]= α[I ]+β[Λ]				(32)
			С
				ω2		0 ...	0
	[I ] - единичная матрица;				1	ω22 ...
где				[Λ]=	0		0
				... ... ...			...
					0	0 ...	ω2
							n
ωr	- собственная частота r -ой моды собственных колебаний,

то есть матрица [С]диагональна. Таким образом, для любой r -ой моды урав-

нение движения (уравнение (15)) может быть отделено и записано в форме:

q&&	+ (α +βω2 )q&	r	+ω2q	r	=Q	(33)
r	r		r		r

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Полагая

2ζmrωr = α +βωr2 ,	(34)
перепишем уравнение (33) в виде:

&&	&	2	(35)
qr + 2ζmrωr qr +ωr qr =Qr

где ζmr есть r -я модальная степень демпфирования (modal damping ratio)

Значения α и β в общем случае непосредственно не известны, но могут

быть вычислены через модальные степени демпфирования ζmr . Согласно (34),

ζmr - это отношение действительного демпфирования α +βω2r к критическому демпфированию 2ωr для данной r -ой моды колебаний. Из формулы (34) мы имеем:

	ζmr =	α	+	β	ωr	(36)
		2ωr		2

В большинстве практических задач α - демпфирование (массовое демпфирование), представляющее фрикционное демпфирование, можно не учитывать ( α = 0 ). В этом случае β можно найти по известным значениям ζmr и ωr , опи-

сывающим материальное конструкционное демпфирование. Заметим, что на шаге нагружения (load step) можно задать только одно значение β, так что для оп-

ределения β мы должны выбрать наиболее существенную активную частоту на данном шаге нагружения.

В случае, когда демпфирующие свойства существенно различаются для разных частей конструкции, вышеописанный подход не может быть применен непосредственно. Примером служит задача, включающая взаимодействие конструкции с грунтом, где демпфирование в грунте значительно больше, чем в конструкции.

Демпфирование, зависящее от материала βj

Здесь бета-демпфирование βj задается как свойство материала (вводится командой MP,DAMP). Напоминаем, что команда MP,DAMP в спектральном ана-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

лизе (ANTYPE,SPECTR) задает для материала степень демпфирования ζ j , а не коэффициент βj .

Постоянная степень демпфирования (constant damping ratio) ζ

Команда DMPRAT используется для представления фактора потерь, где ζ задается равным η/ 2. Величина ζ задается командой DMPRAT в виде десятич-

ного числа, что является простейшим способом введения демпфирования в конструкцию. Величина ζ представляет отношение действительного демпфирова-

ния к критическому. Команда DMPRAT применима только в спектральном анализе, гармоническом анализе и в динамическом переходном анализе методом суперпозиции мод. Как показывает формула (29), постоянная степень демпфирования ζ используется программой для определения множителя βc .

Модальное демпфирование ζmr

Оно вводится командой MDAMP и дает нам возможность задавать различные значения степени демпфирования ζmr для разных мод колебаний. Команда

MDAMP применима только в спектральном анализе и в анализах методом суперпозиции мод (переходный динамический и гармонический анализ). С помощью уравнений (30) и (31) ζmr используется программой для вычисления матри-

цы демпфирования [Cζ ], зависящей от частоты.

Поэлементное демпфирование [Ck ]

Поэлементное демпфирование предполагает использование некоторых специальных типов элементов, имеющих характеристики вязкого демпфирования,

таких как COMBIN7, COMBIN14, COMBIN37, COMBIN40 и т.д. Поэлементное демпфирование вводится через действительную константу (real constant) элемента.