РАСЧЕТНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Демпфирование колебаний в гармоническом анализе

Для проверки того, как интерпретируются демпфирующие свойства при гармоническом анализе (harmonic response analysis) в ANSYS, рассмотрим несколько дискретных колебательных систем.

Вязкое демпфирование Одинарная система «пружина – масса» (см. рисунок 1)

1) Способ с заданием действительной константы для элемента - непосредственный ввод коэффициента вязкого демпфирования с в виде действительной константы (real constant) для элемента COMBIN14 (см. рисунок 3).

Рисунок 3 – Отклик вязкодемпфированной системы с одной степенью свободы

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2)Метод рэлеевского бета-демпфирования (вводится командой BETAD):

β= 2ζ/ ωn (см. рисунок 4). Сначала по собственной частоте ωn системы рассчи-

тывается степень демпфирования ζ, затем по формуле β = 2ζ/ ωn вычисляется параметр β:

ωn = k / m = 200/ 0,5 = 20 (рад/с); ζ = c /(2mωn )= 6 /(2 0,5 20)= 0,3 ; β = 2ζ/ ωn = 2 0,3/ 20 = 0,03 (с).

Рисунок 4 – Отклик вязкодемпфированной системы

содной степенью свободы (β = 0,03 с)

3)Метод с заданием свойства материала βj = 2ζ j / ωn (задается командой

MP,DAMP ). Аналогично введению параметра β, рассмотренному выше, демп-

фирующие свойства можно ввести в систему, связывая с элементом (например,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

СOMBIN14) величину демпфирования βj , заданную в виде свойства материала

(MP,DAMP) – см. рисунок 5.

Рисунок 5 – Отклик вязкодемпфированной системы с одной степенью свободы (βj =0,03 с)

Сложная система пружин и масс (см. рисунок 6)

[ m1 = m2 = 0,5 кг; k1 = k2 = k3 =150 Н/м;	c1 =5 Н·с/м;
c2 = 0,1 Н·с/м; c3 = 0,05 Н·с/м; F1 =10 Н;	F2 =500 Н ]

Рисунок 6 – Вынужденные демпфированные колебания системы с двумя степенями свободы (2 DOF)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1) Способ с заданием действительных констант для элементов - непосредст-

венный ввод коэффициента вязкого демпфирования сi каждого демпфера через соответствующие действительные константы (real constant) используемых элементов (см. рисунок 7).

Рисунок 7 – Отклик вязкодемпфированной 2DOF – системы

2) Через свойство материала βj = 2ζ j / ωn (ввод командой MP,DAMP)

Это требует вычисления собственных частот системы и определения наиболее существенной моды для рассматриваемой задачи, поскольку у систем со многими степенями свободы имеется более чем одна собственная частота. Пусть доминирующая (главная) собственная частота есть ωd , тогда демпфирование ма-

териала βj можно вычислить через эту собственную частоту. Можно ожидать,

что с увеличением числа степеней свободы колебательной системы будет непросто выделить доминирующую собственную частоту. На рисунке 8 показан от-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

клик двух масс, когда в качестве доминирующей принята первая собственная частота ( ω1 =17,32 рад/с).

На рисунке 9 показан отклик двух масс, когда в качестве доминирующей принята вторая собственная частота ( ω2 =30,00 рад/с). Как показывает рисунок

9, наблюдается явное расхождение с аналитическим решением, если в качестве доминирующей принята «неподходящая» собственная частота.

Рисунок 8 – Отклик вязкодемпфированной 2DOF – системы

(β = 0,033 с;	β	2	= 6,666 10−4 с; β	3	=3,333 10−4	с)
1

3) Еще раз отметим, что поскольку на шаге нагружения (load step) можно задать только одно значение β, метод рэлеевского β-демпфирования не может быть непосредственно использован для задания демпфирующих свойств колебательной системы с несколькими различными демпфирующими материалами. На рисунке 10 показан отклик двух масс при β = 0,03333 с.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рисунок 9 – Отклик вязкодемпфированной 2DOF – системы

(β = 0,011 с;	β	2	= 2,222 10−4 с; β	3	=1,111 10−4	с)
1

Рисунок 10 – Отклик вязкодемпфированной 2DOF – системы (через метод рэлеевского демпфирования при β = 0,03333 с)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Гистерезисное демпфирование

1) Переменный множитель βc определяется через постоянную степень демпфирования ζ(constatnt damping ratio), задаваемую командой DMPRAT. Как указывалось выше, команда DMPRAT может быть использована для задания гистерезисного демпфирования для одной степени свободы колебательной системы. Как и прежде, по формуле (29) степень демпфирования ζ должна быть равна η/ 2, где η - фактор потерь. На рисунке 11 показан отклик колебательной системы с одной степенью свободы при гистерезисном демпфере.

Рисунок 11 – Отклик гистерезисно-демпфированной системы с одной степенью свободы ( m = 0,5 кг; k = 200 Н/м; η= 0,6 )

2) Через множители βj , зависящие от материала (вводятся командой

MP,DAMP). Демпфирование по материалу βj можно применять для задания свойств гистерезисного демпфирования колебательных систем как с одной, так и

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

со многими степенями свободы. βj рассчитываются по формуле (29), если из-

вестны факторы потерь ηj :

	βj =	ηj (ω)		(37)
		ω
	где ηj (ω) - зависящий от частоты фактор потерь для			j -го материала;

ω - круговая частота.

Для гармонического анализа колебаний формула (37) должна применяться при каждой частоте отдельно. То есть для каждой круговой частоты, при которой проводится анализ, необходимо задавать соответствующее демпфирование βj .

На рисунке 12 показан отклик колебательной системы с двумя степенями свободы (см. рисунок 6) при гистерезисном демпфере.

Рисунок 12 – Отклик гистерезисно-демпфированной системы с двумя степенями свободы

(демпфирование через свойства материалов: η1 = 0,5 ; η2 = 0,3 ; η3 = 0,2 )

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Демпфирование колебаний в модальном анализе

Модальный анализ применяется для определения колебательных характеристик (собственных частот и форм) колебательных систем. Результаты модального анализа далее могут быть использованы для других динамических анализов, выполняемых методом суперпозиции мод.

В модальном анализе можно задавать альфа-демпфирование (через матрицу масс), бета-демпфирование (через матрицу жесткости), степень демпфирования в зависимости от материала (вводится через команду MP,DAMP4)) и поэлементное демпфирование (применяется через действительные константы элементов).

Отметим, что в методе суперпозиции мод возможно только рэлеевское, или постоянное демпфирование, а явное поэлементное демпфирование в таких элементах как COMBIN14 не допускается. В соответствии с формулами (30),(31) и (36), модальное демпфирование ζr представляется в ANSYS как комбинация не-

скольких различных вводимых параметров:

	ζr =	α	+	β	ωr +ζmr +ζ	(38)
		2ωr		2

где α - общий множитель к матрице масс (вводится командой ALPHAD); β - общий множитель к матрице жесткости (вводится командой BETAD);

ζ- постоянная степень демпфирования (вводится командой DMPRAT);

ζmr - модальная степень демпфирования (вводится командой MDAMP).

Для колеблющейся конструкции, состоящей только из одного материала, зависящее от материала демпфирование βj дает тот же результат, что и глобаль-

ное бета-демпфирование (по матрице жесткости ) β, поскольку βj = 2ζ j / ωrj .

Ясно, что демпфирование в зависимости от частоты, наподобие гистерезисного по формуле (37), не применимо при модальном анализе. На практике рэлеевские параметры демпфирования материалов (как сплошных демпфирующих сред) не могут быть получены из данных, предоставляемых производителями (модули и

4) (прим. перев.) Команда MP,DAMP задает постоянный множитель βj для j -го материала.

В ANSYS v.14 эта команда заменена на MP,BETD; также появилась возможность задавать для j -го материала постоянный множитель α j – с помощью команды MP,ALPD

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

факторы потерь). Таким образом, рэлеевское демпфирование подходит только для колебательных систем с одной степенью свободы.

Выводы

Существует несколько способов для введения демпфирования материалов в

ANSYS:

•Поэлементное задание демпфирования возможно только для некоторых специальных элементов, таких как COMBIN14, COMBIN37, COMBIN40 и т.д. Коэффициенты вязкого демпфирования вводятся непосредственно как действительные константы. Способ пригоден для колебательных систем с одной или многими степенями свободы;

•Рэлеевское демпфирование (ввод командами ALPHAD и BETAD) пригодно для колебательных систем с одной степенью свободы, поскольку оно зависит от доминирующей собственной частоты и степени демпфирования. Для систем со многими степенями свободы и непрерывных систем определить доминирующую собственную частоту и модальную степень демпфирования затруднительно. Полагая α = 0 , имеем: β = 2ζr / ωr ;

•Постоянная степень демпфирования (constant damping ratio, вводится командой DMPRAT) используется для непосредственного задания гистерезисного демпфирования в колебательных системах с одной степенью свободы и (или) в системах, содержащих только один тип материала. Задаваемая постоянная степень демпфирования равна половине фактора потерь: ζ =0,5η ;

•Демпфирование в зависимости от материала (вводится командой MP,DAMP) может использоваться для задания вязкого демпфирования

βj = 2ζ j / ωn или гистерезисного демпфирования βj =ηj (ω)/ ω. Обла-

дая ограничениями, аналогичными рэлеевскому демпфированию, этот способ может использоваться только для описания вязкого демпфирования в колебательных системах с одной степенью свободы и (или) в