Теория измерений

Морокина

Глава1.

Основные положения ТИ.

Аксиомы теории измерений

1. я аксиома: между состояниями данной характеристики и между значениями соответствующих величин существует отношение изоморфности

2. я аксиома: отображение состояния данной характеристики в образ состояния неоднозначно (это отображение точки в отдельное множество)

3. я аксиома: неоднозначность отображения состояния в образ состояния, реализованного с помощью измерительного средства, можно установить на основе метематической модели, описывающей метрологические качества этого средства

4. я аксиома: сформированный образ действительности соотносятся с некоторыми условно установленными эталонными состояниями (состояниями сравнения)

Ключевая проблема теории измерений – модель погрешности. Она рассматривается как многомерный, нестационарный случайный процесс, сводимый к стационарному.

Аксиомы теории измерений

5. Я аксиома: между состояниями данной характеристики и между значениями соответствующих величин существует отношение изоморфности

6. я аксиома: отображение состояния данной характеристики в образ состояния неоднозначно (это отображение точки в отдельное множество)

7. я аксиома: неоднозначность отображения состояния в образ состояния, реализованного с помощью измерительного средства, можно установить на основе метематической модели, описывающей метрологические качества этого средства

8. я аксиома: сформированный образ действительности соотносятся с некоторыми условно установленными эталонными состояниями (состояниями сравнения)

Ключевая проблема теории измерений – модель погрешности. Она рассматривается как многомерный, нестационарный случайный процесс, сводимый к стационарному.

Анализ структуры измерительной процедуры.

Элементы измерения.

Как сложная познавательная и экспериментальная процедура изме­рение в общем случае может быть представлено в виде совокупности определенным образом взаимосвязанных элементов. Из анализа приве­денного ранее определения измерения (см. 2.2) непосредственно выте­кает необходимость рассмотрения следующих основных его элементов:

- физической величины (указывающей, что именно измеряется);

- единицы физической величины (представляющей, через что вы­ражается измеряемая величина);

- средства измерений (показывающего, с помощью чего измеряется величина);

- метода измерений (раскрывающего, как именно измеряется вели­чина);

- результата измерения (отражающего значение величины, полу­ченное при измерении);

- погрешности результата измерения (указывающей, как отличается

полученный результат измерения от истинного значения измеряемой величины).

Нетрудно заметить, что перечисленные основные элементы изме­рения разнородны по природе; в частности, одни из них относятся к реальному миру, а другие - к знаниям о реальных объектах. Исследова­ние описаний измерительных процессов и измерительных цепей дает возможность расширить перечень и определенным образом системати­зировать структурные элементы, отражающие различные стороны изме­рения.

Прежде всего, следует выделить эмпирические (вещественные) и теоретические (модельные) элементы измерения. К эмпирическим элементам относятся (рис. 4.1):

- объект исследования (ОИ) и его конкретное, подлежащее измере­нию свойство;

- средства измерений (СИ), включая регистрирующее устройство;

- внешняя среда, оказывающая влияние на ОИ и СИ;

- наблюдатель (оператор), выполняющий измерение;

- вычислительное устройство (ВУ), используемое для обработки данных;

- вспомогательные технические средства, применяемые для обес­печения эксперимента и управления им.

Анализ и проектирование измерительной процедуры требуют фор­мирования теоретических (модельных) элементов, отражающих сущест­венные аспекты материальных элементов.

Теоретические элементы целесообразно разделить на три группы. Первая из них (условно называемая структурной) используется для опи­сания перечисленных эмпирических (материальных) элементов (рис. 4.2). В эту группу элементов входят:

- модель объекта исследования;

- ФВ и измеряемая величина;

- шкала и единица ФВ;

- принцип измерений;

- метод измерений;

-структура измерительной цепи ПИП, ИП;

- влияющие величины.

Вторая группа теоретических элементов, отражающая свойства из­мерительной цепи и сигналов измерительной информации, может быть названа информационной - с ее помощью описываются взаимодействия эмпирических элементов и результаты этих воздействий (рис. 4.3). Сюда входят:

- измерительный сигнал (сигнал измерительной информации);

- метрологические характеристики средства измерений (MX СИ), показание средства измерений;

- результат наблюдения (однократного измерения) или отсчет;

- результат измерения;

- погрешность результата измерения и ее составляющие. Наконец, особо выделяются математические модели (своеобразная

третья группа элементов), представляющие либо измерение в целом,

либо его этапы:

- уравнения измерений;

- алгоритм обработки данных.

Для дальнейшего изложения материала, по-видимому, необходимо подробнее описать взаимосвязи между материальными и соответствую­щими им теоретическими элементами.

Объект исследования - это реальный физический объект, обла­дающий множеством свойств и взаимосвязанный с окружающими его другими объектами. Для его изучения строится модель объекта, имею­щая определенные структуру и параметры. Отдельные свойства объекта исследования должны быть адекватными конкретным параметрам моде­ли и описываются как соответствующие физические величины. Таким образом, свойства реального объекта и физические величины соотносят­ся друг с другом, как реальность и ее модель.

Разработка методики выполнения измерений основывается на имеющихся знаниях об ОИ и ФВ (использованных при составлении математических моделей), а само измерение проводится при операциях с натуральными объектами и их свойствами. Следовательно, измерение играет роль своеобразного "мостика" между абстракцией и действи­тельностью, связующего звена между реальным и идеальным - этим объясняется его особое значение в познании.

Изучаемое свойство (и отвечающая ему физическая величина) мо­жет оказаться изменяющимся во времени. Например, переменное элек­трическое напряжение: и = Um sin ωt, где параметрами модели являют­ся амплитуда Um , частота ω и текущее время t. В подобном случае следует выделять известный постоянный параметр (чаще всего - функ­ционал), который отражает исследуемую особенность ФВ и является собственно измеряемой величиной. В указанном примере таковым пред­ставляется параметр Um или Um /√2(действующее значение).

Необходимо подчеркнуть, что физическая величина неразрывно связана с конкретным свойством объекта исследования, а при ее изме­рении реализуется взаимодействие СИ с ОИ либо с одним из его полей. Организация взаимодействия производится сообразно с теоретически­ми, а следовательно, с субъективными представлениями (знаниями) наблюдателя. Отсюда следует, что неотъемлемым элементом измерения является наблюдатель (экспериментатор, человек). Автоматизация из­мерений всегда ограничена рамками измерительного эксперимента,

проводимого по программе, которая разрабатывается и корректируется человеком.

Шкала и единица физической величины, естественно, должны быть

установлены заранее, до измерения; соответственно, ФВ надлежит изу­чить достаточно полно.

Шкала величины вводится как числовое описание некоторой сово­купности объектов, обладающих данным свойством [23]. Классу эмпи­рических объектов А, на котором определено множество эмпирических отношений ставится в соответствие множество действи­тельных чисел В, на котором определено множество числовых отноше­ний P=[Pi....,P^]: М :(A,R}->{B,P}.

Шкала М представляет собой совокупность правил, позволяющих выполнить указанное сопоставление. Она характеризуется группой до­пустимых преобразований числовой системы. Основные типы шкал приведены в табл. 4.1;

В качестве примера могут служить следующие шкалы величин:

• номинальная, наименований - любое обозначение объектов числами,

присвоение им имен (в виде чисел). Шкала определяет только имена объектов;

• номинальная, классификации - например, шкала цвета (атлас цве­тов). Шкала фиксирует отношения эквивалентности среди объектов по данному свойству;

• ординальная (порядка) - шкалы твердости, чувствительности фото­материалов, силы ветра (шкала Бофорта). Устанавливают эквива­лентность и отношения "больше-меньше" по рассматриваемому свойству. Формирование подобной шкалы допустимо:

- по внешним признакам, например, температуры по цвету;

- по внутренним свойствам - например, шкал твердости, чувстви­тельности фотоматериалов;

- по сопутствующим признакам (ассоциативные измерения) - вы­соты волн при определении скорости ветра в баллах, разрушения строе­ний при оценивании силы толчков землетрясений;

• интервальная, применяемая при измерениях величин с условным нулем (температурная шкала, шкала времени). Здесь возможно вве­дение единицы как части интервала между реперными точками шка­лы (шкала относится к метрическим, т. е. основанным на использо­вании меры);

• пропорциональная (отношений), базирующаяся на аддитивности величины (вводятся не только единицы ФВ, но и физически воспро­изводимые меры - шкалы длин, массы, силы, электрического напря­жения и т. п.);

• абсолютная, допускающая любые отношения, аналогичные отноше­ниям между числами (применяется при измерениях относительных величин, например коэффициентов отражения, пропускания света).

Соответственно, единица физической величины, выполняющая при измерении роль объекта сравнения, представляется своеобразным мас­штабирующим началом, реализуемым ФВ в конкретном своем проявле­нии. Размер такой ФВ принимается за единичный. Ввиду своей особой значимости элемент измерения, имеющий (большей частью) материаль­ное воплощение, но относимый, как отмечалось ранее, к элементам теоретическим, заслуживает, очевидно, отдельного рассмотрения. Раз­вернутая характеристика единицы физической величины дается в 2.4.

Принцип измерений определяется как совокупность физических яв­лений, на которых основаны измерения. При этом имеются в виду физи­ческие основы взаимодействия объекта исследования и средства изме­рений (или первичного измерительного преобразователя - ПИП). На­пример, при измерении массы взвешиванием используется принцип пропорциональности массы и силы тяжести; при измерении температу­ры ртутным термометром - зависимости объема ртути от температуры.

Метод измерений - совокупность правил и приемов использования СИ. Это весьма широкое определение привело к различному толкова­нию понятия. Для сложных средств измерений требуется перечисление всех применяемых преобразований измерительных сигналов. Иногда под методом измерений подразумевается метод сравнения измеряемой величины с мерой; чаще всего понятие метода (конкретного) определя­ется так, чтобы указать наиболее характерную особенность преобразо­вания измерительного сигнала, в том числе и принципа измерения. На­пример, говорится о методах электрических измерений и при этом под­разумевается использование электрических сигналов в измерительных цепях.

Средства измерений определяются как технические средства, пред­назначенные для измерений и имеющие нормированные метрологиче­ские характеристики. Элементарными средствами измерений являются меры, хранящие размер единицы физической величины, и измеритель­ные преобразователи (ИП), с помощью которых формируются и преоб­разуются измерительные сигналы. В зависимости от функциональной

сложности СИ различаются измерительные приборы, установки и сис­темы (см. 9.4).

Последовательно соединенные ИП для одного измерительного сиг­нала образуют измерительную цепь (см. рис. 4.3). В состав цепи помимо первичных и промежуточных ИП (ПИП, ПрИП) входят меры и средства обработки и регистрации результатов. Для эксперимента необходимы и вспомогательные технические средства. В совокупности со средствами измерений они называются "измерительной аппаратурой".

Особой частью СИ является цепь передачи размера единицы физи­ческой величины, формирующая сигнал от меры. Для большинства ра­бочих приборов подобная цепь составляется только при аттестации (ис­пытаниях) или поверке либо совмещается с рабочей цепью, при этом образцовый и измерительный сигналы сравниваются визуально. Как реальное техническое средство СИ описывается своей моде­лью, которая может быть представлена достаточно полно его метроло­гическими характеристиками (MX). Последние, являясь характеристи­ками свойств средств измерений, дают возможность Определять пара­метры преобразования сигнала и судить о пригодности СИ для выпол­нения измерений с заданной точностью.

Вычислительное устройство (ВУ), осуществляющее либо преобра­зования измерительного сигнала, либо обработку результатов однократ­ных измерений (наблюдений), способно играть роль измерительного преобразователя в измерительной цепи. Оно обеспечивает выполнение определенного алгоритма обработки данных, составляемого на основе анализа теоретических элементов измерения: уравнения измерений, измеряемой величины, MX СИ. Алгоритм (теоретический элемент) ока­зывается при этом основным, а ВУ (материальный элемент) - подчи­ненным компонентом, реализующим алгоритм с определенной степенью точности.

Элементы внешней среды и условия измерений существенно влия­ют на результаты измерений и, соответственно, требуют надлежащего представления; они описываются как влияющие величины. Выделяются нормальные условия применения средств измерений, при которых при­нимается во внимание только их основная погрешность, и рабочие усло­вия, где требуется учитывать и дополнительные погрешности СИ. Для оценивания воздействий влияющих величин на результаты измерений вводятся специальные метрологические характеристики - функции влияния, позволяющие рассчитывать упомянутые дополнительные по­грешности.

При выполнении измерений большое значение имеет контроль ус­ловий измерений. Следует, прежде всего, отметить, что эти условия могут быть контролируемыми или неконтролируемыми в определенных пределах, зависящих от требуемой точности результата измерения. Обеспечить контроль условий измерений удается двумя основными способами: либо стабилизацией конкретного условия, достигаемой с помощью специальных технических средств, либо измерением влияю­щих величин и введением соответствующих поправок при обработке экспериментальных данных. Во многих точных измерениях оба способа применяются совместно.

При описании информационных элементов необходимо обратить внимание на то, что первичный измерительный сигнал появляется толь­ко на выходе ПИП как результат взаимодействия чувствительного эле­мента ц объекта исследования. Происходит отбор по изучаемому свой­ству одного воздействия из множества возможных. Качество отбора обусловливается двумя факторами - уровнями сигнала и помех, зависящих от внешних воздействий на объект исследования и на средство измерений. Степень соответствия полезного сигнала конкретному свой­ству определяется точностью выбранной модели ОИ и ФВ и характери­зуется теоретической составляющей методической погрешности. Изме­рительные сигналы могут быть аналоговыми или дискретными, но на конечной стадии преобразования становятся числами. Различаются ис­ходные показания средства измерений (отсчеты), получаемые по ним результаты наблюдений и конечные результаты измерений, найденные обработкой результатов наблюдений. Конечный результат измерения выражается в виде именованного числа. При относительных единицах ФВ результат может выражаться в долях (процентах, промилле, децибе­лах), однако размер одной доли должен быть всегда указан.

Классификация измерений.

Классификация предмета исследования является одной из основ любой теории, помогая сформировать представление об особенностях предмета, выявить перспективные направления его изучения. В метро­логии стремятся применять классификации, существенные для теории и пригодные для решения прикладных задач. При этом наиболее употре­бительными классификационными признаками, выбираемыми в соот­ветствии с основными элементами измерений, описываются:

- измеряемая ФВ;

- вид уравнения измерений;

- режим использования СИ;

- условия, определяющие точность измерения;

- соответствие количества опытов количеству измеряемых величин. Особо значимой и сложной представляется классификация по физическим величинам, по существу, отражающая классификацию ФВ. Данная классификация лежит в основе большого числа классификаторов средств измерений [4.6] и библиографических материалов [4.5].

-Общая характеристика классификации приведена в [2.2]. При иерархическом принципе построения такой классификации (табл. 4.2) могут выделяться до шести ступеней. Деление на области измерений (первая ступень) проводится в соответствии с делением физики на раз­делы: "Механика", "Термодинамика", "Электричество", "Магнетизм",

"Оптика", "Молекулярная и атомная физика".

На следующем уровне (вторая ступень) области измерений могут

разделяться на группы (отрасли измерений) в соответствии с общностью проявления физических величин; пример такого деления приведен в табл.

Таблица

Краткое содержание операций на перечисленных этапах измерений приводится в табл. 4.5, а подробно рассматривается далее.

Содержание и взаимосвязь этапов измерений.

Постановочный этап в общем случае проходит в такой последовательности

1. Анализ цели измерения, априорных данных об условиях измере­ния и исследуемой величине, а также о требуемой точности измерения. Уточнение модели объекта исследований и модели физической причины.

3. Определение измеряемой величины в рамках этой модели.

4. Формализация измерительной задачи в рамках задачи исследова­ния на основе принятой модели объекта.

5. Выбор конкретных величин (аргументов), на основе измерений которых будет находиться искомое значение измеряемой величины.

6. Установление зависимостей между измеряемой величиной и не­посредственно измеряемыми аргументами (уравнениями измерений).

Первые два подэтапа весьма существенны при решении сложных измерительных задач и исследовании сложных объектов. Исходя из поставленной цели измерения, прежде всего необходимо выделить тре­буемое свойство объекта и дать определение соответствующей изме­ряемой величины. При этом важную роль играет модель объекта - ма­тематическая конструкция, которая отражает существенные для данной измерительной задачи свойства реального объекта [16]. Модель объекта в первом приближении обычно строится до выполнения измерения на основе априорной информации об объекте и о цели измерения; на на­чальном этапе измерения она уточняется, а далее в ходе исследований -может изменяться и совершенствоваться. Иногда сложная модель фор­мируется в несколько этапов: сначала выбираются ее общая структура и начальные значения параметров, а затем уточняются эти и дополнитель­ные параметры. Например, при измерении площади земельного участка первоначально принимается гипотеза о равенстве сторон, а в качестве модели - квадрат, что позволяет измерить только одну сторону участка. При уточнении размера площади может выявиться неравенство длины и ширины участка, тогда в качестве модели принимается прямоугольник и возникает необходимость измерения двух сторон участка. Дальнейшая

проверка может выявить непрямоугольность участка, что потребует измерения не только сторон, но и угла между ними.

Измеряемая величина определяется на основе принятой модели объекта как постоянный параметр или характеристика объекта, отра­жающая выделенное свойство. Выбор измеряемой величины также мо­жет быть неоднозначным, даже при фиксированной модели объекта, кроме того, он

может уточняться в процессе исследования.

Неизбежность идеализации объекта при построении его модели приводит к несоответствию измеряемой величины (параметра модели) исследуемому свойству реального объекта (так называемому порогово­му несоответствию). Во многих ситуациях, когда высокая точность из­мерений не требуется, этап построения модели специально не выделяет­ся, а пороговое несоответствие пренебрежимо мало. Однако при услож­нении измерительной задачи и повышении требуемой точности измерен- ний этот этап становится весьма существенным и пороговое несоответ­ствие оказывается значимым. В результате выполнения наблюдений может оказаться, что принятая первоначально модель неудовлетвори­тельно описывает объект исследования. Например, если полученный разброс отдельных результатов наблюдений существенно превышает допустимый для данных средств и условий измерений или выявлены неучтенные факторы, вызывающие систематические изменения, и т. д., то возникает необходимость уточнить модель объекта.

преобразований, но это совершено не раскрыло бы ее сущности.

2. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Основные части измерительной системы

В целом можно считать, что измерительные системы могут состоять из трех основных элементов:

1. Чувствительного элемента, часто называемого датчиком, - элемента, который выдает сигнал, количественно связанный с измеряемой величиной. Такие элементы получают инфор­мацию об измеряемом объекте и преобразуют ее в вид, до­ступный остальным частям измерительной системы с це­лью получения количественного значения измеряемой вели­чины.

2. Преобразователя сигнала, который получает сигнал от чувст­вительного элемента и преобразует его в соответствии с тре­бованиями блока отображения информации измерительной системы или системы управления. Преобразователь сигналов может состоять, в свою очередь, из трех элементов: формиро­вателя сигналов, который преобразует сигнал от чувствитель­ного элемента в физический вид, удобный для отображения; сигнального процессора, который улучшает качество сигнала, например, усиливает его, и передатчика сигнала для переда­чи этого сигнала на некоторое расстояние до устройства отоб­ражения.

3. Устройства отображения — элемента, на котором отобра­жается выходная информация измерительной системы. Этот элемент получает информацию от преобразователя сигналов и представляет ее в виде, который человек может идентифи­цировать, например, в виде стрелочного указателя, переме­щающегося по шкале.

Таким образом, в общем виде измерительная система состо­ит из датчика, подсоединенного к преобразователю сигнала, ко­торый, в свою очередь, соединен с устройством отображения. Это может быть представлено на блок-схеме в виде, показанном на Рис. 1.1.

Рис. 1.1. Общий вид измерительной системы

Передаточная функция системы

При стационарных условиях передаточная функция системы — это отношение выходного сигнала θ₀ к входному сигналу θ_i:

Измерительная система может состоять из датчика, преобра­зователя сигнала и устройства отображения (Рис. 1.2). Каждый из этих элементов имеет свою собственную передаточную функцию.

Рис. 1.2. Передаточная функция измерительной системы

Так, для датчика — это передаточная функция G₁ с входным сигналом θ_i; и выходным сигналом θ₁ являющимся входным для преобразователя сигнала:

,

для формирователя сигнала — передаточная функция G₂ с вход­ным сигналом θ₁ и выходным θ₂:

,

а для устройства отображения — передаточная функция G₃ с входным сигналом θ₂ и выходным θ₀:

.

Тогда передаточная функция для всей измерительной системы может быть записана в виде:

Таким образом, передаточная функция системы равна произ­ведению передаточной функции датчика на передаточную функ­цию формирователя сигнала и на передаточную функцию устрой­ства отображения. Если система содержит большее количество элементов, где выходной сигнал от одного элемента является вхо­дом только одного последующего элемента, то передаточная функция такой системы образуется как произведение передаточ­ных функций каждого элемента

Точность системы

Если передаточная функция датчика — G₁ его входной сиг­нал — θ_i а его выходной сигнал — θ₀ то при отсутствии по­грешностей:

Из-за погрешностей выходной сигнал попадет в интервал значе­ний (θ₁ ± θ₁), следовательно, и передаточная функция G₁ будет из­меняться в некотором диапазоне значений и, таким образом, ее сле­дует записать в виде (G₁ ± G₁). Следовательно, зависимость меж­ду входным и выходным сигналом должна быть записана в виде:

θ 1 ± δθ1 = (G1 ± δG1) θ i,

Выходной сигнал от датчика является входным сигналом для преобразователя сигнала. Из-за наличия погрешностей передаточная функция преобразователя сигнала должна быть записана в виде: (G 2 ± δG2). Тогда выходной сигнал преобразователя (θ 2 ±δθ 2) можно представить как:

θ 2 ±δθ 2 = (G 2 ± δG2) (θ 1 ± θ1) = (G 2 ± δG2) (G 1± δG1)) θ i,

Выходной сигнал преобразователя является входным для устройства отображения. Из-за наличия погрешностей передаточную функцию устройства отображения следует записать в виде : (G 3 ± δG3). Тогда выходной сигнал на выходе всей измерительной системы можно представить как:

θ 0 ±δθ0 =(G 3 ± δG3)(θ 2 ±δθ2 ) = (G 3 ± δG3) (G 2 ± δG2) (G 1± δG1)) θ i,

θ 0 – это выходной сигнал системы, а погрешность δθ0 – это полная погрешность системы с выходным сигналом θ i. Если пренебречь малыми величинами, тогда:

θ 0 ±δθ0 =(G3 G2 G1 ±G2 G1 δG3 ± G3 G1 δG2± G3 G2δG1) θ i = G3 G2 G1(1± ± ± ) θ i.

При отсутствии каких-либо погрешностей это выражение можно было бы представить в виде:

θ0 = G3 G2 G1 θ i.

Таким образом G1 G2 G3 – это полный номинальный коэффициент усиления системы.

Следовательно, разделив обе части уравнения на θ0 , получим уравнение:

1± = 1± ± ± ,

= + + ,

где δθ0 / θ 0 – это относительная погрешность выходного сигнала, δG/G – это относительная погрешность передаточной функции. Таким образом, это уравнение просто показывает, что относительная погрешность выходного сигнала – это сумма относительных погрешностей каждого элемента измерительной системы. Отсюда же следует, что процентная погрешность выходного сигнала – это сумма процентных погрешностей каждого элемента системы.