1.6 Описание встречающихся в работе команд Maple

Тестирует дифференциальное уравнение ODE или систему дифференциальных уравнений (в виде списка) на автономность. Здесь VARS - зависимые переменные; IVAR - независимая переменная. Если система автономна, то эта функция возвращает true, иначе - false.

Выполняет проверку правильности решения SOL для дифференциального уравнения ODE.

Классифицирует ОДУ ODE. Здесь y(x) — искомая функция; type1, type2, ... – подмножество типов классификации; help – указывает надо ли выводить справку по поводу методов решения данного вида ОДУ (выводится в отдельных окнах).

Упрощает выражение EX. Можно указать дополнительные условия упрощения OPS

Выделение правой или левой части из уравнения EQN.

Вычисляет предел выражения EXPR (функция или n-й член последовательности). Здесь x=VAL - точка, в которой вычисляется предел; в качестве необязательного DIR задают: left (предел слева), right (предел справа), real (действительный) или complex (комплексный).

Вводит новое имя NEWNAME для уже существующих функций или переменных.

1.7 Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятия «производная функции». Чем отличается задача Коши от краевой задачи?

2. С помощью каких команд Maple можно получить аналитическое решение и выполнить исследование динамических моделей на основе дифференциальных уравнений?

3. В чём заключаются характеристические особенности ОДУ? Что такое математическая сингулярность? Чем характеризуется замкнутая форма решения? Что вкладывают в понятие динамика?

4. Опишите параметры и слагаемые, входящие в модель «Динамика популяций» (1.2). Какие процессы они описывают?

5. Укажите соотношение параметров модели (1.2), которое определяет состояние экосистемы при бесконечно большой продолжительности ее существования. Покажите это состояние на графике.

6. Как будет изменяться состояние экосистемы (1.2) в зависимости от первоначального уровня популяции? Что означают на графике 1-я, 2-я и 3-я линии?

7. Найдите на графике момент времени, когда скорость прироста биомассы будет максимальна. Какому соотношению параметров модели «Динамика популяций» оно соответствует?

8. Опишите параметры и слагаемые, которые входят в модель Вольтерра-Лотка «Хищник-жертва» (1.4). Какие процессы они описывают?

9. С помощью какого метода и команды Maple было получено решение СДУ составляющих модель «Хищник-жертва»? Что представляют собой начальные условия и конечное решение?

10. Прокомментируйте полученный график двухмерной развёртки во времени и фазовую кривую. Какие критические состояния проходит экосистема (1.4)? Соотношения каких параметров модели определяет эти состояния?

11. Укажите как будет меняться состояние экосистемы в зависимости от первоначального уровня «хищников» и «жертв». Укажите процессы, которые приводят к наблюдаемым изменениям в каждом случае. При каких начальных условиях кривые численности станут прямыми линиями, которые показаны на графике двухмерной развёртки во времени?

12. Найдите на фазовой кривой точку стационарного состояния экосистемы (1.4). С чем связана не эллиптичность формы траектории фазовой кривой?

13. Укажите отличия модели «Хищник – жертва» от этой же модели, но с логистической поправкой (1.5). Какие ситуации можно моделировать с помощью этой модели?

14. Опишите параметры и слагаемые, которые входят в модель трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты» (1.6). К какому типу принадлежат уравнения СДУ? Какие процессы они описывают?

15. Прокомментируйте результаты имитационных экспериментов на модели пищевой цепи «Корнеплоды – Зайцы – Волки». К каким последствиям для экосистемы могут привести антропогенные воздействия: полное выкашивание, полное и частичное истребление зайцев и волков, влияние выбросов загрязняющих веществ?