§ 2. Плотность распределения вероятностей

О.2. Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е.

.

Свойства функции :

1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е.

.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле:

.

5. Если известна плотность распределения , то функция распределения может быть найдена по формуле:

Пример 3. НСВ задана плотностью распределения

.

Найти функцию распределения вероятностей и построить графики и . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала .

Решение:

при : ;

при : ;

при : ;

.

.

§ 3. Числовые характеристики нсв

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.

О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл:

.

O.2. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла

.

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2. На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: .

O.3. Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

.

О.4. Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5. Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

.

Пример 1. НСВ задана плотностью распределения вероятностей в интервале . Вне этого интервала . Найти все числовые характеристики НСВ .

Решение:

;

;

;

;

Т. к. кривая распределения – парабола симметричная относительно

прямой , то .

§ 4. Законы распределения нсв

Плотности распределения НСВ называют также законами распределения. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

1. Равномерное распределение

О.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:

Свойства равномерного распределения

1. Зная плотность распределения, и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле:

.

Пример 1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что НСВ - время ожидания автобуса - распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание), среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность того, случайно подошедший на остановку пассажир будет ожидать автобус не более 4 минут, но и не менее 2 минут.

Решение:

;

.