Вопрос 8

Типы интуиции в математике.

Интуиция и логика в математике. Математика ассоциируется с интуицией, которая присуща молодым: 20+eps. Пик эрудиции к 30 годам. Из-за этого сдвиг наиболее плодотворного возраста для математики. Любой результат – плод воображения.

Интуиция – непосредственное рациональное знание об окружающем мире.

Типы:

1. Чувственная. Пример: ребенок тянется к родителям.

2. Интеллектуальная. Бергсон:“Настоящее познается только интуицией”.

3. Сверхинтеллектуальная.

Хомяков, Соловьев. Мистическая интуиция. Опыт не дает понимания вещей, разум – тоже. Мир понимается посредством мистической интуиции. Любое познание начинается с откровения.

В математике два типа интуиции.

1. Ассерторические интуиции.

1. Эмпирическая интуиция. Следование математика за опытом. Пример: функция непрерывна -> есть производная, но это неверно.

2. Индуктивная интуиция. Пример: поиск теорем, которые стоит доказывать.

3. Психологическая интуиция. “Вживание” в область.

1. Аподиктические. Абсолютные интуиции.

   1. Арифметическая (предметная) интуиция.

   2. Логическая интуиция. Пример: (А->B) -> (B̅->A̅).

   3. Структурная интуиция. Пример: правила вывода.

   4. Геометрическая интуиция.

Абсолютными можно обосновывать. Надо отделять аспект открытия и аспект обоснования.

Декарт: “ясное усмотрение ума, которое точнее, чем сама дедукция”.

Интуиция выше логики.

Конец 19-го века, Фреге, Рассел, Кутюра: интуиция в математике не нужна.

Кант: 5+7=12 – созерцание. Логически не следует, а из интуиции следует.

Фреге: конъюнкция 5 и 7.

Берем формулы => синтетического априори не существует, только аналитические.

Сводим к логике.

Вопрос 9

Роль строгих определений и формальных операций в математике.

Рассел: 1901 “Мистицизм и логика”.Интуиция нужна там, где не хватает аксиом и логики. Аксиомы – скрытые определения. Пуанкаре “Чтобы утверждать, что акс=опр-я, нужно понять, что такое определение. В любом определении сущ аксиома сущ-я”. Если возьму акс-у инд-ии как опр-е нат.числа => надо проверить все сл-я и док-ть, что нет противоречия. Как бы мы не пытались формализовать математику, мы не уйдем от того, что мыслим содержательно.

20 век. Методы преподавания математики. Под влиянием Бурбаки прошел переход к аналитическому преподаванию математики. Устранен содержательный момент из образования математики. Можно преподавать так? Нет. Оппенгеймер. Культура поделилась на математическую и гуманитарную.

Поверхность из треугольников, “приближающая” цилиндр.При соотношении kи l площадь стремится к бесконечности, k – ширина одного прямоугольникаи l – высота полоски треугольников.

Вопрос 10

Классическая и неклассическая математизация знания.

Зачем нужна математика?

Античная философия – для гос деятеля, чтобы понимал, что существует высшая истина. Деятельно должен быть разумным. Математика нужна для воспитания. Математия и музыка для укрощения и разжигания страстей. 19 век, Герман Коген: Нация, которая теряет математическое образование, превращается в нац дураков. Пуанкаре: астрономия необходима, потому что прекрасна. Есть инженерная функция: математика как способ упорядочивания знания.

Классическая математизация (полная, жесткая) – математизация, например, механика. Все следствия формализованы. Признаки: выражение всего на языке математики, существуют фундаментальные эталонные величинами. Классическая математизация рассчитана на точные измерения, полна, точно описывает последующий процесс. Современная математизация – полуклассическая.

Полуклассическая / Фрагментарная математизация (мягкая). Во многих случаях существует “дырка”, разрывы обосновывают эмпирически. Подгоняем Константы – могут получаться эмпирическим путем. Пример: уравнения Вольтера (1910) выживание вида в биоценозе. Число хищников - C, число жертв – N.dN/dt = kN – fNC; dC/dt = -lC + cfNC.

Такая схема приблизительна, но уравнения есть. Подобные приложения бывают в психологии, истории, социологии и т.п.

Метафорическая математизация. Математика иногда используется не в смысле формул, а в смысле понятий, образов. Математические понятия дают априорную основу.

Пример: Налимов написал книгу:“Вероятностная модель языка”. Взял за основу понятие вероятности, вероятность ~ частота слова. Гауссовское распределение, наложение графиков при применении слов. Игра + ? Игра + Туз = Карты. Игра + Гол = Футбол. Смысла ни у одного слова нет. Слово создается связями. Можно д-ть, что человек знает ! язык (тот, на котором говорил в детстве) =>адекватных переводов не существует. Шизофреники говорят слишком правильным языком, утрата хвостов. Математику не обязательно вносить через формулы. Формулы Байеса.