36.Дифференцирование обратной функции
Теорема
3.
Пусть
ф-ия
строго монотонна и непрерывна в
окрестности
точки
.
Пусть,
кроме того, ф-ия
дифференцируема в точке
и
.
Тогда обратная к ней ф-ия
дифференцируема в точке
,
причем
(1)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы
следует, что существует конечный,
отличный от нуля предел
Тогда
по теореме о пределе частного существует
конечный предел
(2)
Рассмотрим
ф-ию
. (3)
В
силу строгой монотонности функции
она определена в проколотой окрестности
точки
.
В точке
ф-ия
имеет конечный предел (2). Поэтому если
доопределить ее в этой точке равенством
,то
она будет непрерывной в этой точке.
Тогда учитывая, что ф-ия
непрерывна в точке
(как обратная к непрерывной, строго
монотонной функции
),
по теореме о непрерывности суперпозиции
заключаем, что сложная ф-ия
будет непрерывной в той же точке
и, следовательно,
(4)
Но
в силу (3) в некоторой проколотой
окрестности
точки
имеет место равенство
.
Поэтому из (4) следует, что ф-ия дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □
37. Дифференцирование эл-тарных функций. Таблица производных.
nо 1. Таблица производных
Эл-тарные
функции (за исключением функций
и
)
дифференцируемы в своих областях
определения, причем справедливы следующие
формулы (они обосновываются в следующих
пунктах):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
nо 2. Показательная и логарифмическая функции.
Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что
(1)
и
(2)
Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:
=
Таким
образом установлена формула
.
Далее,
так как ф-ия
явл. обратной к функции
,
по формуле для производной обратной
функции имеем:
=
.
Следовательно, установлена и формула .
Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.
,
где
и
– дифференцируемые на некотором
промежутке
функции, причем
на
.
Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь
Таким
образом,
.
В
частности, если здесь
,
а
,
то
,
т.е. установлена и формула
.
Формула
вытекает из формулы 20
в силу формулы дифференцирования
обратной функции:
(здесь
,
).
38.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
О
1. Пусть
ф-ия
определена
на мн-ве
и локальный
минимум
(локальный
максимум)
,
если существует такая окрестность
этой
точки, что
(1)
(
),
при
этом точку
называют точкой
локального
минимума
(локального
максимума)
функции.
Замечание
1.
Если
внутренняя точка мн-ва
,
т.е. если она принадлежит ему вместе с
некоторой своей окрестностью то в
условии (1) вместо «
»
можно писать «
»,
считая без ущерба для общности , что
.
Замечание 2. Если в точке ф-ия имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.
Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на мн-ве , т.е. всякая точка , для которой
,
(
),
иногда наз. точкой
глобального минимума (глобального
максимума)
функции
на мн-ве
.
Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, явл. также и точкой локального экстремума.
Теорема
1(Ферма).
Пусть
ф-ия
определена на мн-ве
,
-
внутренняя точка мн-ва
и ф-ия
дифференцируема в этой точке .Тогда,
если
– точка локального экстремума этой
функции, то
.
(2)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности
будем считать , что
─
точка локального минимума . Тогда
такое, что
(
─
внутренняя
точка
)
и
.
Поэтому
(3)
. (4)
Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что
(5)а
из неравенства (4) , в силу того же, в
свою очередь, следует , что
(6)
из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □