Вопрос № 1.(Физические модели. Системы координат. Число степеней свободы. Векторные и скалярные величины).

При изучении различных движений и взаимодействий в классической механике вводят в рассмотрение физические модели или научные абстракции, основными из которых являются:

Материальная точка - объект малых размеров (размерами, которого в условиях данной задачи можно пренебречь), обладающий массой. Это понятие применимо, когда тело движется поступательно или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс;

Абсолютно твердое тело - тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизменным. Применимо, когда можно пренебречь деформацией тела;

Сплошная изменяемая среда. Понятие применимо при изучении движения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа), когда можно пренебречь молекулярной структурой среды.

Произвольно выбранное, условно неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называют телом отсчета

Связанная с телом отсчета произвольная система координат называется системой отсчета.

Системы координат бывают: Декартова(трехмерная), прямоугольная, полярная и т.д.

Сте́пени свобо́ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы. Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений, полностью описывающих динамику системы.

Скалярными называют величины, имеющие численное значение, но не имеющие направления

Векторными величинами, или векторами, называют величины, имеющие и численное значение, и направление.

Вопрос № 2(Кинематика поступательного движения. Перемещение, скорость, ускорение).

Поступательное движение - это движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. При этом все точки тела описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения м.т. в ее положение в данный момент времени (отрезок, соединяющий последовательные положения материальной точки или тела) - приращение радиус-вектора r за рассматриваемый промежуток времени.

Средняя скорость неравномерного движения - скалярная физическая величина, численно равная отношению всего пути, пройденного телом (материальной точкой), к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение.

мгновенная линейная скорость - векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, численно равная первой производной от перемещения по времени.

линейное ускорение - векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от перемещения по времени.

Тангенциальное ускорение изменяет линейную скорость только по величине:

Нормальное ускорение изменяет линейную скорость только по направлению:

Вопрос №3(Кинематика вращательного движения. Угол поворота. Угловая скорость и ускорение. Их связь с линейными)

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси вращения называют такое движение, при котором какие-либо две его точки остаются неподвижными в процессе движения.

Угол поворота ϕ - угол между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью (плоскостью отсчета) и полуплоскостью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним.

Угловая скорость ω - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота ϕ в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени.

Векторная физическая величина, характеризующая изменению угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени, называется угловым ускорением.

Надо отметить, что к вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки, с заменой в них линейных величин соответствующими угловыми величинами.

4.КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Определение гармонических колебаний. Гармоническими называются колебания, при которых описываемая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение кинематики гармонических колебаний имеет следующий вид:

x = A·cos(2p·t/T + f0), (9.1)

Кинематические характеристики гармонических колебаний.

x = A·cos(w·t + f0).

Поскольку скорость u - есть производная от координаты по времени, а ускорение a - соответствующая производная от скорости, то эти величины зависят от времени также по гармоническим законам:

u = A·w·cos(w·t + f0); a = - A·w2·sin(w·t + f0) = - w2·x.

Выполнение соотношения (9.3) является характерным признаком гармонического колебательного движения. Для такого движения скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение - на p.

Колебательное движение реальной механической системы всегда сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Т.к. энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьшается и амплитуда колебаний Когда вся энергия колебания перейдёт в теплоту, колебание прекратится. Такого рода колебания называются затухающими.

Периодическим называется колебание, при котором, система отклоняется от своего состояния равновесия, и каждый раз возвращается к нему через одинаковые промежутки времени.

Колебательные процессы широко распространены в природе и техникеРассмотрим колебания математического маятника:

Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити.

Момент инерции математического маятника равен:J = ml2 ,

Подставляя это выражение в выражение периода колебание маятника (T = 2 / = 2 J/(mgl)), получим окончательную формулу периода колебаний математического маятника:T = 2 l/g.

Отсюда следует, что при малых отклонениях период колебания математического маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения свободного падения и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

Колебательные явления могут возникать помимо нашего желания и играть вредную роль: часто наблюдаются нежелательные и опасные колебания сооружений, вибрации механизмов и т.д.

Фа́за колеба́ний — физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени.[1] Если колебания системы описываются синусоидальным (косинусоидальным) или экспоненциальным законами:то фаза колебаний определяется как аргумент периодической функции, описывающей гармонический колебательный процесс (— угловая частота (чем величина выше, тем на большее значение изменяется угол за ед. времени), t— время, — (угол в начале колебаний) начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0).

Если две волны полностью совпадают друг с другом (по длительности периода - т.е. времени, за которое угол совершает изменение на 360 град.) - говорят, что волны находятся в фазе. В случае, если в том месте, где у одной волны находится область высокой плотности (максимум), у другой находится область низкой плотности (минимум) (и периоды волн т.о. равны) - говорят, что волны находятся в противофазе. При этом, если волны одинаковые (по амплитуде), происходит их взаимное уничтожение

5.Биения

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса

Биения

За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний.

Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.

АНАЛОГ

периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Б. возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через нек-рое время — в противофазе, затем снова в фазе и т. д. Если А1 и А2— амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда результирующего колебания достигает наибольшего значения А1+А2, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда результирующего колебания падает до наименьшего значения А1-А2. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе (рис.).

Биения, возникающие при наложении двух близких по частоте колебаний; Т — период биений.

Результат наложения колебания можно записать в виде:

где w1 и w2— соотв. угл. частоты двух накладывающихся гармонич. колебаний.

Если w1 и w2 мало различаются, то в выражении (1) величину

можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду (огибающую) колебания

Угл. частота W=w1-w2 наз. угл. частотой Б. Т. о., Б. представляют собой один из вариантов амшштудно-модулированных колебаний (см. МОДУЛЯЦИЯ КОЛЕБАНИЙ). По мере сближения частот w1 и w2 частота Б. уменьшается, исчезая при w1®w2 («нулевые» Б.).

Определение частоты тона Б. между измеряемым и эталонным колебанием — один из наиб. точных методов сравнения измеряемой величины с эталонной, широко применяемый на практике; метод Б. применяют для измерения частот ёмкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе слухового восприятия и т. д.

7 Вопрос

Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики (жирным выделены векторные величины)

(а)

P = ma.

Если на точку действует только одна сила Р (примером такого движения может служить так называемое свободное падение – движение точки под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве), то векторное уравнение (а) заменяется скалярным уравнением

(б)

P = ma,

выражающим зависимость между модулями силы и ускорения.

Если на точку действует несколько сил Р1, Р2, ..., Рn, то векторное уравнение (а) примет вид

(в)

R = ma,

где равнодействующая R=∑Pi и, согласно закону независимости действия сил, a=∑ai (ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).

Векторное равенство (в) заменяется двумя или тремя скалярными равенствами.

Если силы Р1, Р2, ..., Рn, действующие в одной плоскости, спроектировать на две взаимно перпендикулярные оси, получим два скалярных уравнения (уравнения проекций на оси х и у):

(г)

∑ Xi = max,

∑ Yi = may,

где ax и ay – проекции ускорения а соответственно на ось x и y.

Если система сил, приложенных к точке, – пространственная, то вместо векторного уравнения (в) составляется три скалярных уравнения проекций на оси х, у и z.

Вопрос 8

Основная задача динамики - определить положение тела в любой момент времени по известным начальным условиям и силам, действующим на тело.

Сила тяжести, действующая на любую материальную частицу, находящуюся вблизи земной поверхности, сила Р, определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной (переносной) силы инерции Q учитывающей эффект суточного вращения Земли (см. рис.). Направление С. т. является направлением вертикали в данной точке земной поверхности, а перпендикулярная к ней плоскость — горизонтальной плоскостью; углы l и j определяют соответственно геоцентрическую и астрономическую широты.

Величина Q = mhw2 (где т масса частицы, h её расстояние от земной оси, w — угловая скорость вращения Земли) ввиду малости w2 очень мала по сравнению с F; поэтому С. т. мало отличается от силы притяжения. При перемещении вдоль поверхности Земли от полюса к экватору значение С. т. несколько убывает вследствие возрастания Q и несферичности Земли: на экваторе С. т. примерно на 0,5% меньше, чем на полюсе. Разность между углами (j и l тоже невелика (наибольшая около 11¢ при l = 45°). Под действием С. т. частица получает ускорение g = Р/т, называется ускорением силы тяжести, которое изменяется с широтой так же, как С. т.

Во всех точках области, размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли, С. т. можно считать равными и параллельными друг другу, т. е. образующими однородное силовое поле. В этом поле потенциальная энергия частицы П = Pz, где z — координата частицы, отсчитываемая по вертикали вверх от некоторого начального уровня, а при перемещении частицы из положения, где z = z1, в положение, где z = z2, работа С. т. А = P (z1 — z2) и не зависит от траектории и закона движения частицы. Действие С. т. существенно влияет почти на все явления и процессы, происходящие на Земле как в природе (включая живую), так и в технике

Силы упругости

При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая.

Сила трения

При наличии относительного движения двух контактирующих тел силы трения, возникающие при их взаимодействии, можно подразделить на:

Трение скольжения — сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.

Трение качения — момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.

Трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.