Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

1	μ¬A (x)
	~

x

1 4

Рис. П.4.5. Дополнение множества

Нечеткие отношения. Под четким бинарным отношением, определенным над множеством X, понимается подмножество множества X × X (см. Приложение 3). Перенося определение нечетких множеств на отношения, определим нечеткое отношение как нечеткое подмноже-

ство X	2		~
		. Таким образом, под нечетким отношением R
будем понимать функцию принадлежности			μ~ (x, y)
			R

такую, что μ~ : X ´ X ® [0,1] . Значение функции принад-

R

лежности понимается как степень выполнения отноше-

~

ния x R y .

Пример П.4.6. Рассмотрим четкое отношение R – «больше, либо равно», тогда R ={(x, y) x ³ y}.

Функция принадлежности этого четкого бинарного

ì1, x ³ y;

отношения μR ( x, y ) = í

î0, x < y.

Множество R изображено на рисунке П.4.6.

530

	y
0	x
	R

Рис. П.4.6. Множество пар (x, y) четкого отношения «≥»

	Свойства нечетких отношений
1. Рефлексивность:
–	если x X	μ~ (x, x) =1, то нечеткое отношение
	~	R
	R рефлексивно в смысле Р1;
–	если x X	μ~ (x, x) =	1	, то нечеткое отношение
		R	2
	~
	R рефлексивно в смысле Р2.				если x X
2. Антирефлексивность (для Р1):
			~
μ~ ( x, x ) = 0 , то нечеткое отношение R антирефлексивно в
R
смысле Р1.				x, y X
3. Симметричность: если					выполняется
μ~ (x, y) = μ~ (y, x) , то нечеткое отношение					~	называется
					R
R	R
симметричным.			x, y X			μ~ (x, y) > 0
4. Асимметричность: если					из
					~	R
						называется
следует μ~ (y, x) = 0, то нечеткое отношение R
	R

асимметричным.

531

			~
5. Линейность (полнота): нечеткое отношение R на-
зывается λ -линейным в	смысле	определения Л1,		если
x, y X выполняется	max {μ~ (x, y), μ~ (y, x)}> λ ,			где
~	R	R
λ [0,1) ; при λ = 0 R называется слабо линейным.
Если x, y X выполняется max{μ~ (x, y), μ~ ( y, x)}=1,
~		R	R
то отношение R называется сильно линейным.

	~
Нечеткое отношение R называется линейным в смыс-
ле определения Л2, если x, y X , μ		~ (x, y) =1- μ~ ( y, x) .
~	~	R	R
			определяется как от-
6. Отрицание R¢	отношения R

ношение, функция принадлежности которого									x, y X
определяется			μ~	(x, y) =1- μ~ (x, y) .
			R¢			~	R	~-1
										опреде-
7. Обратное к отношению R отношение R
ляется x, y X			выражением μ~			1	(x, y) = μ~ (y, x) .
					R	−		R
8. Композицией отношений (произведением) называ-
ется отношение:
К1 – максиминная композиция:
μ~	~	(x, y) = sup min{μ~ (x, z), μ~						(z, y)};
R1 ×R2			zÎX		R1		R2
К2 – минимаксная композиция:
μ~	~ (x, y) = inf max {μ~ (x, z), μ~							(z, y)};
R1	×R2		zÎX		R1		R2
К3 – максмультипликативная композиция:
μ~		~	(x, y) = sup {μ~ (x, z)μ~ (z, y)} .
	R1	×R2		zÎX	R1		R2

9. Транзитивность. В соответствии с тремя определениями композиции можно построить три определения транзитивности – (Т1), (Т2) и (Т3) по следующей схеме:

~ × ~ Í ~

R R R . Определение максиминной транзитивности в случае четких бинарных отношений совпадет с определением их транзитивности, приведенном в Приложении 3.

532

Нечетким отношением предпочтения (НОП) называ-

ется нечеткое отношение, удовлетворяющее (Р1), (Л1) и (Т1). Принцип обобщения определяет образ нечеткого множества при четком или нечетком отображении. Напомним, что образом отображения f: X → Y четкого множества X во множество Y является множество таких элементов множества Y, для которых существует прообраз в множе-

стве X: f (X) = {y Y | x X: f (x) = y}.

В соответствии с принципом обобщения образом

нечеткого множества μ~ (x) , x X, при четком отобра-

A

жении f: X → Y является нечеткое множество y Y, с функцией принадлежности

μ~ (y) =	sup μ~		(x) , y Y.
B	{x X | f ( x)= y}	A

μ~ (y) ,

B

Принцип обобщения является удобным инструментом «перевода» четких моделей и задач в нечеткие и широко используется как в моделях принятия решений [59], так

ив задачах управления организационными системами [2, 13, 48, 49, 53].

Модели принятия решений при нечеткой исход-

ной информации. Сформулируем описанное в разделе 1.1

ив Приложении 3 для четких бинарных отношений предпочтения правило индивидуального рационального выбора

P(RA , A0 ) = {z A0	t A0	zRA t}
0		0

в терминах функций принадлежности. Функция принадлежности четкого бинарного отношения предпочтения R задается в виде: μR (x, y) =1, если x R y. Строгая (асиммет-

ричная, антирефлексивная, транзитивная) его компонента

(отношение строгого предпочтения) определяется функ-

цией принадлежности:

μP (x, y) = max{μR (x, y) − μR (y, x),0} .

533

Множество альтернатив x A0 , доминируемых хотя бы одной альтернативой y A0 , имеет функцию принадлежности μP ( y,x) . Дополнение этого множества, то есть множество альтернатив x A0 , не доминируемых данной альтернативой y A0 , имеет функцию принадлежности 1− μ P (y,x) . Вычисляя пересечение по всем y A0 , находим множество альтернатив, недоминируемых по четкому бинарному отношению RA0 :

P(RA0	, A0 ) = inf	{1− μP ( y, x)} = 1− sup μ P (y,x) .
	y A0	y A0

Пример П.4.7. Рассмотрим следующее четкое рефлексивное, полное, транзитивное бинарное отношение (отношение предпочтения) над множеством из трех действий y1, y2, y3, такое, что y1 не менее предпочтительно, чем y2, а y2 не менее предпочтительно чем y3, y1 не менее предпочтительно, чем y3. Это четкое отношение предпочтения приведено в таблице П.4.1.

Таблица П.4.1

	y1	y2	y3
y1	1	1	1
y2	0	1	1
y3	0	0	1

Матрица соответствующего ему строгого отношения предпочтения приведена в таблице П.4.2.

Таблица П.4.2

	y1	y2	y3
y1	0	1	1
y2	0	0	1
y3	0	0	0

534

Функция μНД (x) для этого отношения предпочтения

~

R

будет задаваться таблицей П.4.3.

Таблица П.4.3

	y1	y2	y3
НД
μ ~	1	0	0
R

Множество недоминируемых действий будет состоять из одного элемента – действия y1.

Завершив рассмотрение примера, повторим приведенные рассуждения для нечетких множеств. В случае когда неопределенность в связи действия АЭ и результата деятельности отсутствует, можно считать, что нечеткое отношение предпочтения задано на множестве возможных

действий A: μ~ (x, y) , x, y A.

R

Определим нечеткое отношение строгого предпоч-

~				~
тения (НОСП) P , соответствующее НОП R , следующим
образом:
μ~ (x, y) = max {μ	~ (x, y) − μ~ (y, x),0}, x, y A.
P	R	R
Определим нечеткое		множество		недоминируемых
альтернатив (действий):
НД	− sup μ~ (y,		x) ,	x A .
μ~ (x) =1
R	y A	P
НД	можно интерпретировать как сте-
Величину μ~ (x)
R			x A , поэтому рацио-
пень недоминируемости действия

нальным будем считать выбор активным элементом действий, имеющих по возможности большую степень

принадлежности четкому				множеству		недоминируемых
альтернатив. Множество
A	НД	~		НД		НД	(z)}
		(R) = {x A		μ~	(x) = sup μ~
				R	z A	R

называется множеством максимально недоминируемых действий (множеством С. А. Орловского [59]).

535

Будем считать, что индивидуально рациональный

~

выбор АЭ при НОП R на множестве допустимых действий определяется следующим правилом рационального

выбора:			~				~
					A	НД
			P( R, A ) =				( R ).
Четкое множество
A	НД	~		НД	(x) ³ α}, α Î (0, 1] ,
		(R) = {x Î A		μ ~
α				R

будем называть множеством α -недоминируемых действий.

Более полное представление о свойствах нечетких множеств и моделях принятия решений при нечеткой исходной информации можно получить в [59]. Модели стимулирования и планирования в условиях нечеткой неопределенности рассмотрены в [48, 49, 53].

536

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ГЛОССАРИЙ

Абстрагирование – процесс87 формирования образов реальности (представлений, понятий, суждений) посредством отвлечения и пополнения, то есть путем использования (или усвоения) лишь части из множества соответствующих данных и прибавления к этой части новой информации, не вытекающей из этих данных.

Агент (agent) – 1) управляемый субъект (например,

человек, или коллектив, или организация); 2) в теоретикоигровых моделях – игрок, делающий ход вторым при известном ходе центра.

Агрегирование (aggregation) – процесс объединения каких-либо однородных показателей (величин) с целью получения более общих, обобщенных показателей (величин).

Адекватный (adequate) – равный, тождественный, вполне соответствующий.

Активный прогноз (active forecast) – целенаправ-

ленное сообщение информации о будущих значениях параметров, зависящих от состояния природы и/или

действий агентов (прогноз – как средство управления).

Активный элемент (agent) – субъект (индивидуаль-

ный или коллективный), обладающий свойством актив-

ности.

87 Термины, выделенные курсивом, также определены в настоящем Глоссарии, гипертекстовую версию которого можно найти на сайте www.mtas.ru.

537

Активная система (active system) – система, хотя бы один элемент которой обладает свойством активности.

Активность (activity) – всеобщая характеристика живых существ, их собственная динамика как источник преобразования или поддержания ими жизненно важных связей с окружающим миром, в узком смысле – способность к самостоятельному выбору определенных действий (включая выбор состояний, сообщение информации и т. д.).

Актуальность – важность, существенность для настоящего времени.

Альтернатива (alternative) – вариант, одна из двух или более возможностей; то, что можно иметь, использовать вместо чего-то еще. На множестве альтернатив осуществляется выбор.

Анализ (analysis) – процедура мысленного или ре-

ального расчленения предмета, явления, процесса или

отношения между предметами на части и установление отношений между этими частями.

Аналогия – сходство предметов (явлений, процессов

и т. д.) в каких-либо свойствах.

Анонимный механизм (anonymous mechanism) –

процедура принятия решений (механизм), симметричная относительно перестановок агентов.

Бинарное отношение (binary relation) над некоторым множеством – совокупность упорядоченных пар элементов этого множества.

Веерная структура – двухуровневая линейная струк-

тура.

Вид – класс предметов, который входит в объем более широкого класса предметов, называющегося родом.

538

Вид неопределенности – интервальная неопределенность, вероятностная неопределенность, нечеткая неопределенность.

Внешняя среда (environment) – совокупность пред-

метов и субъектов, явлений и процессов, не входящих в рассматриваемую систему, но взаимодействующих с ней.

Синоним – «окружающая среда».

Выбор (choice) – операция, входящая во всякую

целенаправленную деятельность и состоящая в целевом сужении множества допустимых альтернатив (обычно,

если позволяют условия, до одной альтернативы).

Вырожденная структура – структура, в которой отсутствуют связи между участниками организационной системы.

Гарантирующая стратегия (guaranteeing strategy) –

выбор игроком действия, обеспечивающего ему макси-

мальный гарантированный результат.

Гипотеза (hypothesis) – предположение, допущение, истинное значение которого неопределенно; предположение, истинность которого не очевидна.

Гипотеза благожелательности (hypothesis of benevolence) – предположение, что из множества одинаково

предпочтительных со своей точки зрения альтернатив субъект (агент) выбирает альтернативу, наиболее предпочтительную для центра.

Гипотеза детерминизма (hypothesis of deterministic behavior) – предположение, что субъект стремится устранить с учетом всей имеющейся у него информации сущест-

вующую неопределенность и принимать решения в условиях полной информированности.

539