§5. Числовые характеристики выборочной совокупности

Статистическое распределение выборки содержит всю информацию о выборке. В ряде случаев нет необходимости в такой полной информации. Вычисление числовых характеристик позволяет максимально сжать информацию о выборке.

Вычисление числовых характеристик в случае безинтервального ряда.

• Выборочная средняя – это средняя арифметическая всех вариант в выборке, обозначается и вычисляется по формуле: (для группированной выборки) или

(для негруппированной выборки).

Выборочная средняя характеризует среднюю варианту признака.

• Выборочная дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от выборочной средней, обозначается и вычисляется по формуле: (для группированной выборки) или (для негруппированной выборки).

Выборочная дисперсия описывает разброс вариант относительно выборочной средней и характеризует точность измерений. Выборочная дисперсия всегда положительна.

На практике более удобна формула , где .

Недостатком дисперсии является то, что ее размерность не равна размерности изучаемой величины, а является квадратом ее размерности. Например, если величина измеряется в метрах, то дисперсия – в м². Для устранения этого недостатка используется следующая числовая характеристика.

• Выборочное среднеквадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии, обозначается и вычисляется по формуле . Оно характеризует то же самое, что и выборочная дисперсия, но его размерность равна размерности самой изучаемой величины.

• Исправленная выборочная дисперсия:

• Стандартное отклонение:

• Стандартная ошибка (или ошибка средней):

Замечание: В большинстве случаев результаты исследований представляются в виде

• Мода – это числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Обозначается или и находится по следующим правилам:

1) если все значения в выборке встречаются одинаково часто, то такой ряд не имеет моды;

2) если два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частоты больше частот других значений, то мода вычисляется как среднее арифметическое этих значений;

3) если два несмежных значения имеют одинаковую частоту, превышающую любые другие, то выделяют две моды, распределение будет бимодальным;

4) аналогично может быть выделено множество мод – распределение будет полимодальным.

§6. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности

В генеральной совокупности можно вычислить аналогичные числовые характеристики: генеральную среднюю, генеральную дисперсию и генеральное среднеквадратическое отклонение.

В силу указанных выше причин генеральная совокупность недоступна для исследования, поэтому вычислить данные характеристики невозможно, можно лишь оценить их по выборке. Можно дать оценки двух видов: точечные и интервальные. Точечная оценка дается одним числом, этим объясняется ее название (число отмечается на числовой оси точкой). Причем оценка будет тем точнее, чем больше объем выборки. Интервальная оценка дается в виде интервала.

Точечной оценкой генеральной средней является выборочная средняя.

Точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия .

Точечной оценкой генерального среднеквадратического отклонения является стандартное отклонение .

Таким образом, ; ,