2.1. Математична модель

Математична модель - це система математичних співвідношень, приблизно, в абстрактній формі описують досліджуваний процес або систему.

Економіко-математична модель - це математична модель, призначена для дослідження економічної проблеми.

Проведення операційного дослідження, побудова та розрахунок математичної моделі дозволяють проаналізувати ситуацію і вибрати оптимальні рішення з управління нею або обгрунтувати запропоновані рішення. Застосування математичних моделей необхідно в тих випадках, коли проблема складна, залежить від великої кількості факторів, по-різному впливають на її рішення.

Використання математичних моделей дозволяє здійснити попередній вибір оптимальних або близьких до них варіантів рішень за певними критеріями. Вони науково обгрунтовані, і особа, яка приймає рішення, може керуватися ними при виборі остаточного рішення. Слід розуміти, що не існує рішень, оптимальних «взагалі». Будь-яке рішення, отримане при розрахунку математичної моделі, оптимально за одним або кількома критеріями, запропонованими постановником завдання і дослідником.

В даний час математичні моделі застосовуються для аналізу, прогнозування і вибору оптимальних рішень в різних галузях економіки. Це планування і оперативне управління виробництвом, управління трудовими ресурсами, управління запасами, розподіл ресурсів, планування і розміщення об'єктів, керівництво проектом, розподіл інвестицій і т.п.

2.2. Класифікація і принципи побудови математичних моделей

Можна виділити наступні основні етапи побудови математичної моделі:

• Визначення мети, тобто, чого хочуть домогтися, вирішуючи поставлене завдання.

• Визначення пapaметров моделі, тобто заздалегідь відомих фіксованих факторів, на значення яких дослідник не впливає.

• Формування керуючих змінних, змінюючи значення яких можна наближатися до поставленої мети. Значення керуючих змінних є розв'язками задачі.

• Визначення області допустимих рішень, тобто тих обмежень, яким повинні задовольняти керуючі змінні.

• Виявлення невідомих факторів, тобто величин, які можуть змінюватися випадковим або невизначеним чином.

• Вираз мети через управляючі змінні, параметри і невідомі чинники, т.e. формування цільової функції, званої також критерієм ефективності чи критерієм оптимальності задачі.

Перерахуємо деякі основні принципи побудови математичної моделі:

• Необхідно порівнювати точність і докладність моделі, по-перше, з точністю тex вихідних даних, якими володіє дослідник, і, по-друге, з тими результатами, які потрібно отримати.

• Математична модель повинна відображати суттєві риси досліджуваного явища і при цьому не повинна його сильно спрощувати.

• Математична модель не може бути повністю адекватна реальному явищу, тому для його дослідження краще використовувати кілька моделей, для побудови яких застосовані різні математичні методи. Якщо при цьому виходять подібні результати, то дослідження закінчується. Якщо результати суттєво відрізняються, то слід переглянути постановку задачі.

• Будь-яка складна система завжди піддається малим зовнішніх і внутрішніх дій, отже, математична модель повинна бути стійкою (зберігати властивості і структуру при цих впливах).

За кількістю критеріїв ефективності математичні моделі діляться на однокритерійним та багатокритеріальні. Багатокритеріальні математичні моделі містять два і більше критерію.

По обліку невідомих факторів математичні моделі діляться на детерміновані, стохастичні та моделі з елементами невизначеності.

У стохастичних моделях невідомі чинники - це випадкові величини, для яких відомі функції розподілу і різні статистичні характеристики (математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення і т.п.). Серед стохастичних характеристик можна виділити:

- Моделі стохастичного програмування, в яких або в цільову функцію (2.1), або в обмеження (2.2) входять випадкові величини;

- моделі теорії випадкових процесів, призначені для вивчення процесів, стан яких у кожен момент часу є випадковою величиною;

- Моделі теорії масового обслуговування, в якій вивчаються багатоканальні системи, зайняті обслуговуванням вимог. Також - до стохастичним моделей можна віднести моделі теорії корисності, пошуку і прийняття рішень.

Для моделювання ситуацій, що залежать від факторів, для яких неможливо зібрати статистичні дані і значення яких не визначено, використовуються моделі з елементами невизначеності.

У моделях теорії ігор завдання видається у вигляді гри, в якій беруть участь кілька гравців, які переслідують різні цілі, наприклад, організацію підприємства в умовах конкуренції.

В імітаційних моделях реальний процес розгортається в машинному часу, і простежуються результати випадкових впливі на нього, наприклад, організація виробничого процесу.

У детермінованих моделях невідомі фактори не враховуються. Незважаючи на уявну простоту цих моделей, до них зводяться багато які практичні задачі, в тому числі більшість економічних завдань. По виду цільової функції і обмежень детерміновані моделі діляться на: лінійні, нелінійні, динамічні та графічні.

У лінійних моделях цільова функція та обмеження лінійні по керуючим змінним. Побудова і розрахунок лінійних моделей є найбільш розвиненим розділом математичного моделювання, тому часто до них намагаються звести й інші завдання або на етапі постановки, або в процесі вирішення. Для лінійних моделей будь-якого виду і досить великий розмірності відомі стандартні методи рішення.

Hелінейние моделі - це моделі, в яких або цільова функція, або яке-небудь з обмежень (або усі обмеження) нелінійні по керуючим змінним. Для нелінійних моделей немає єдиного методу розрахунку. Залежно від виду нелінійності, властивостей функції і обмежень можна запропонувати різні способи рішення. Однак може трапиться і так, що для поставленої нелінійної задачі взагалі не існує методу розрахунку. У цьому випадку завдання слід спростити, або звівши її до відомих лінійним моделям, або просто лінеаризована модель.

У динамічних моделях, на відміну від статичних лінійних і нелінійних моделей, враховується фактор часу. Критерій оптимальності в динамічних моделях може бути самого загального вигляду (і навіть узагалі не бути функцією), однак для нього повинні виконуватися певні властивості. Розрахунок динамічних моделей складний, і для кожної конкретної задачі необхідно розробляти спеціальний алгоритм рішення.

Графічні моделі - Використовуються тоді, коли завдання зручно представити у вигляді графічної структури.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Завдання 13

Показник	Одиниця виміру	1 пів-річчя	2 пів-річчя	Відхилення, +/-	Відхидення, %
Кількість верстатів	шт	85	81	-4	-4,7
Фонд часу роботи 1 обладнання	год.	109,5	108,8	-0,7	-0,6
Тривалість однієї зміни	год	7,3	6,8	-0,5	-6,8
Кількість змін роботи 1 обладнання		15	16	+1	+6,7
Вихід продукції з 1кг. переробленої сировини 1 обладнанням	кг	0,745	0,785	+0,04	+5,4
Кількість сировини, що перероблюється на верстаті за 1 год. 1 обладнанням	кг	350	297	-53	-15,1

Висновок: Із даної таблиці видно,що за останнє півріччя на підприємстві зменшилась кількість верстатів на 4 шт. (тобто на 4,7 %), зменшився фонд часу роботи одного обладння на 0,7 год. Зменшилась тривалість однієї однієї зміни на 0,5 год (або на 6,8 %). В результаті маємо збільшення кількості змін роботи одного обладнання з15 до 16 змін, що дає додаткове навантаження на виробничі верстати. При раціональнішому використанні сировини збільшився вихід продукції з 1 кг сировини 1 обладнання на 0,04 кг тобто на 5,4 %. Одночасно зменшилась кількість сировини, що перероблюється на верстаті з 350 до 297 кг за 1 год 1 обладнанням.

Завдання 14

Матеріал	Середньо-добове витрачення кг	Фактичний запас		Норма запасу, дні
		кг	дні	макси-мальна	міні-мальна
Прокат чорних металів, в тому числі :
Сталь листова	250	1750	7	8	6
Прокат неконвенційний	100	600	6	5	3
Сталь крупносортова	350	4200	12	10	8
Сталь середньосортова	220	3300	15	10	7
Сталь дрібносортова	280	1400	5	10	6

Висновок: Проаналізувавши дану таблицю, можна зробити висновок, що практично усі види запасів використовуються нераціонально. При середньо добовому витрачанні прокату не конвенційного в 100 кг та фактичному запасі в 600 кг, 100 кг прокату є зайвими, так як максимальна норма запасу складає 500 кг (5днів*100кг). При середньодобовому витрачанні в 350 кг та фактичному запасі в 4200 кг та максимальній нормі запасу 10 днів, залишається зайвими на складі 700 кг сталі крупно сортової. Фактичний запас сталі середньо сортової перевищує нормований запас на 1100 кг. Єдиним дефіцитним видом матеріалів є сталь дрібно сортова, якої при середньодобовому витрачанні в 280 кг та фактичному запасі в 1400 кг вистачає лише на 5 днів, при мінімальній нормі запасу 6 днів. Отже підприємству слід раціональніше закуповувати матеріали на виготовлення продукції.

Завдання 15

Підприємства - контрагенти	Період виникнення заборгованості						∑, грн.	Питома вага заборгованості %
	До 1 міс.	1міс. – 3міс.	3міс. – 6 міс.	6 міс. – 1 рік	1 р. – 2 р.	2 р. – 3 р.
Оксамит	300	100	200	450	0	0	1050	16,4
Маріо	0	0	0	0	700	1000	1700	26,6
Панна	0	600	400	300	0	0	1300	20,3
Крістіна	1500	850	0	0	0	0	2350	36,7
∑, грн.	1800	1550	600	750	700	1000	6400	100,0
Питома вага заборгованості, %	28,1	24,2	9,4	11,7	10,9	15,6	100,0	х

Висновок: Загальна сума дебіторської заборгованості на підприємстві складає 6400 грн. Найбільшу частку заборгованості серед кредиторів має підприємство «Крістіна», яке заборгувало 2350 грн., що складає 36,7% від загальної суми заборгованостей (в т.ч. 1500 грн. складає заборгованість до 1 місяця та 850 – від 1 до 3 місяців. Підприємство «Маріо» заборгувало ЗАТ «Алекс» 1700 грн., що складає 26,6% загальної суми заборгованостей (в т.ч. 700 грн строком від 1 до 2 років та 1000 грн. строком від 2 до 3 років, що складають 10,9 та 15,6 % від загальної суми заборгованостей). Найбільшу питому вага серед заборгованостей складають заборгованості до 1 місяця 1800 грн. (або 28,1%). Найменшу – від 3 до 6 місяців – 600 грн (або 9,4%). На підставі даних висновків можна сказати, що на підприємстві практично відсутня ймовірність появи безнадійних боргів.

ВИСНОВОК

Розвиток таких складових економіко-математичних методів, як математичне програмування, теорія масового обслуговування, теорія управління ресурсами, сприяє тому, що математичні методи стали важливим інструментом теоретико-економічних досліджень, необхідним елементом прикладного економічного аналізу та управління. Виникла потреба в систематизованому вивченні ряду розділів прикладної математики студентами економічних та управлінських спеціальностей з метою подальшого використання отриманих знань у практичній діяльності та наукових дослідженнях. Аналіз актуальних досліджень. Розвитку математичних методів моделювання економіки присвячено ряд монографій та підручників, в яких розроблено теоретичні основи та розглянуто прикладні аспекти застосування методу математичного моделювання до різних економічних процесів і явищ. Але, як зокрема зазначалось у , на сьогодні не існує розробленої методичної системи навчання студентів економіко-математичних дисциплін, невід’ємною складовою яких є економіко-математичні методи та моделі. Мета статті – розглянути загальні аспекти методу економіко-математичного моделювання як одного з основних методів дослідження економічних процесів та явищ, уточнити поняття економіко-математичної моделі та навести їх класифікацію, сформулювати завдання та вимоги до знань і умінь студентів після вивчення курсу «Економіко-математичні методи та моделі». Виклад основного матеріалу.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003. – 408с.

2. Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. – М.: Колос, 1978. – 424с.

3. Немчинов В.С. Экономика и математические методы. Избранные произведения: В 6 т. – М.: Наука, 1967.–Т.3. – 490с.

4. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 144с.

5. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. –136 с.

21