- •Раздел 3. Динамика.
- •3.11. Работа и мощность сил
- •5. Работа силы упругости пружины.
- •6 . Работа сил, приложенных к твердому телу.
- •3.12. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига
- •3.13. Кинетическая энергия твердого тела при различном движении
- •3.14. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •3.15. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •3.16. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •3.17. Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы
Раздел 3. Динамика.
3.11. Работа и мощность сил
Работа силы — скалярная мера действия силы.
1. Элементарная работа силы.
Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы:
(3.37)
В (3.37) — приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому
(3.38)
Так как — проекция силы на направление перемещения точки (при криволинейной траектории — на касательную ось к траектории), то
(3.39)
т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нормальной силы равна нулю. Из (3.38) следует:
если , то ; если , то ; если , то .
2. Аналитическое выражение элементарной работы. Представим векторы и через их проекции на оси декартовых координат: , и подставим в (3.37). Получим
|. (3.40)
3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении
(3.41)
или
|. (3.42)
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то
(3.43)
Например, дано: , , . .
4 . Работа силы тяжести (рис. 17). Используем формулу (3.42): , ; , где — перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).
П
Рисунок 17
(3.44)
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории ( совпадает с ) работа равна нулю.
5. Работа силы упругости пружины.
П
Рисунок 18
(3.45)
П
Рисунок 19
, (3.46)
где , — деформации пружины в этих положениях.
6 . Работа сил, приложенных к твердому телу.
а) Работа внутренних сил
Д
Рисунок 20
Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:
. (3.47)
Следовательно, на любом конечном перемещении тела
(3.48)
б) Работа внешних сил.
Поступательное движение тела.
Элементарная работа силы . Для всех сил . Так как при поступательном движении , то , (3.49)
где — проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения. Работа сил на конечном перемещении , (4.50)
В ращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 21).
Э
Рисунок 21
Элементарная работа внешней силы равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела вокруг оси.
Элементарная работа всех внешних сил
, (3.51)
где — главный момент внешних сил относительно оси.
Работа сил на конечном перемещении
(3.52)
Если , то (3.53)
где — конечный угол поворота; , где — число оборотов тела вокруг оси.
7. Мощность — это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность
(3.54)
где — работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время .
В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы к элементарному промежутку времени , за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому
(3.55)
8. Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение выполненной полезной работы ко всей затраченной работе , т. е.
(3.56)
9. Единицы измерения работы и мощности. В системе СИ единица измерения работы силы — джоуль (1 Дж= 1 Н м),а в системе МкГС — кГм. Единица измерения мощности — соответственно — ватт (1 Вт = 1 Дж/с) и кГм/с. 75 кГм/с = 1 л. с. (лошадиная сила). 1 кВт= 1000 Вт = 1,36 л. с.