26. Вільні електромагнітні коливання у контурі. Перетворення енергії в коливальному контурі. Власна частота коливань у контурі

Отримати електромагнітні коливання так само просто, як і примусити тіло коливатися, відтягнувши його на пружині. А спостерігати не просто, оскільки безпосередньо ми не бачимо ні заряду конденсатора, ні струму в котушці. Вільними називаються коливання в системі, що виникають після виведення її із стану рівноваги і надаючи їй стану спокою.

Періодичні чи майже періодичні зміни заряду, сили струму і напруги називають електромагнітними коливаннями. Зазвичай ці коливання відбуваються з дуже великою частотою. Їх досліджують за допомогою спеціального приладу - осцилографа. Як і механічні коливання, електромагнітні коливання можуть бути вільними і вимушеними.

Вільні електромагнітні коливання виникають під час розряджання конденсатора через котушку індуктивності.

Вимушеними електромагнітними коливаннями називаються коливання в колі під дією зовнішньої періодичної ЕРС. Змінна ЕРС виникає під час обертання замкненого провідника в однорідному магнітному полі.

Найпростіша система, в якій можуть виникнути вільні електромагнітні коливання, складається із послідовно з'єднаних конденсатора ємністю С і котушки індуктивності L, приєднаної до його обкладок. Таку систему називають коливальним контуром (рис.5.2.1).

.

Зарядимо конденсатор від зовнішнього джерела струму. При цьому конденсатор отримає енергію

.

Після підключення до конденсатора котушки індуктивності, отримаємо замкнене коло. Конденсатор почне розряджатися і в колі з'явиться електричний струм. Струм у колі не одразу досягне максимального значення, а збільшуватиметься поступово. Це зумовлено явищем самоіндукції. З появою струму виникає змінне магнітне поле. Це змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле в провіднику, яке внаслідок наростання магнітного поля діє проти струму і протидіє його миттєвому збільшенню (правило Ленца).

У міру розряджання конденсатора енергія електричного поля буде зменшуватись, але водночас буде зростати енергія магнітного поля струму, яку визначають за формулою:

.

У момент часу, коли конденсатор повністю розрядився (q = 0), енергія електричного поля набуває нульового значення. Енергія магнітного поля струму згідно із законом збереження енергії буде максимальною . У цей момент струм досягає максимального значення I_max.

Однак на цьому процес коливань у контурі зупинитися не може, бо з цього часу за рахунок самоіндукції підтримується струм у колі, що зумовлює перезарядження конденсатора. На цьому етапі енергія магнітного поля котушки знову перетворюється в енергію електричного поля конденсатора.

Коли б не було втрат енергії (наприклад, на подолання опору провідників, за якого енергія струму перетворюється в енергію провідників), то цей процес відбувався б нескінченно. Коливання стали б незагасальними. Через інтервали часу, що дорівнюють періоду коливань, стани системи повторювались би і значення енергії (магнітного і електричного полів) було б максимальним:

.

А в будь-який інший час

.

Порівнюючи коливання в коливальному контурі з механічними коливаннями (наприклад, пружинного маятника), бачимо, що індуктивність котушки виконує таку ж роль, як і маса в пружинному маятнику (L   m):

; .

Бачимо, що коефіцієнт жорсткості k для пружинного маятника в контурі "виконує роль" величини 1/С (k 1/C), це дозволяє записати формулу для періоду коливань у коливальному контурі: оскільки ; а k 1/C, L m, то , або

.              (5.2.1)

Формула (5.2.1) називається формулою Томсона. Перетворення енергії в коливальному контурі приводить до зміни величини заряду, сили струму і напруги за законом синуса або косинуса. Тому такі електромагнітні коливання є гармонічними. Знайдемо рівняння, що описує вільні електромагнітні коливання в контурi. Оскільки повна енергія коливального контуру залишається сталою в будь-який момент часу, якщо R = 0, то похідна від повної енергії за часом дорівнюватиме нулю:

або

.    (5.2.2)

Фізичний зміст рівності (5.2.2) полягає в тому, що швидкість зміни енергії магнітного поля за модулем дорівнює швидкості зміни енергії електричного поля. Знак "-" вказує на те, що коли енергія електричного поля збільшується, то енергія магнітного поля зменшується (і навпаки). Саме тому не змінюється повна енергія.

У рівнянні (5.2.2) візьмемо похідну:

.      (5.2.3)

Але похідна заряду за часом - це сила струму в певний момент часу:

.

Тому рівняння (5.2.3) можна записати так:

.               (5.2.4)

Похідна сили струму за часом є не що інше, як друга похідна заряду за часом, подібно до того, як похідна прискорення - це друга похідна координати за часом. Підставивши у рівняння (5.2.4) I' = q" і поділивши ліву й праву частини цього рівняння на LI, дістанемо основне рівняння, яке описує вільні електромагнітні коливання в контурі:

,

де q" - друга похідна заряду за часом. Розв'язком цього рівняння є вираз:

.

Позначимо через w₀, що виражає циклічну частоту (кількість коливань у контурі за час 2p секунд). Основне рівняння набуде вигляду

q" = – w₀²q.

Знаючи період, можна визначити і власну частоту: - частота вільних електромагнітних коливань в контурі; n - вимірюють у герцах (Гц); 1 Гц відповідає одному електромагнітному коливанню за 1 с.