3. Определение аналитического выражения связи между факторным и результативным показателем на основе регрессионного анализа
3.1 Оценка параметров уравнения линейной регрессии
Форма связи (уравнение регрессии) исследуется регрессионным анализом.
Уравнение
линейной регрессии – уравнение прямой
вида
=а+bx.
Параметры а и b определяются из системы двух уравнений, полученных методом наименьших квадратов:
,
где п - объем исследуемой совокупности (число наблюдений);
a, b - неизвестные параметры уравнения регрессии.
Определим параметры a, b в рассматриваемом примере, используя расчеты, представленные в таблице (2.1):
№ |
xi |
уi |
х2 |
у·х |
1 |
2,503 |
6,05 |
6,26500 |
15,1431 |
2 |
1,767 |
4,54 |
3,12228 |
8,02218 |
3 |
2,592 |
6,05 |
6,71846 |
15,6816 |
4 |
2,238 |
5,12 |
5,00864 |
11,4585 |
5 |
2,651 |
5,94 |
7,02780 |
15,7469 |
6 |
2,415 |
5,56 |
5,83222 |
13,4274 |
7 |
2,798 |
5,89 |
7,82880 |
16,4802 |
8 |
2,739 |
6,1 |
7,50212 |
16,7079 |
∑ |
19,703 |
45,25 |
49,3053 |
112,667 |
ср. |
2,46287 |
5,65625 |
|
|
Чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку:
В результате расчетов получили: a=1,794≈1,8, b=1,568≈1,57.
Подставим эти вычисленные параметры a и b в уравнение регрессии
=а+bx:
=1,8+1,57x.
№ |
xi |
уi |
|
1 |
2,503 |
6,05 |
5,73 |
2 |
1,767 |
4,54 |
4,57 |
3 |
2,592 |
6,05 |
5,87 |
4 |
2,238 |
5,12 |
5,31 |
5 |
2,651 |
5,94 |
5,96 |
6 |
2,415 |
5,56 |
5,59 |
7 |
2,798 |
5,89 |
6,19 |
8 |
2,739 |
6,1 |
6,1 |
∑ |
19,703 |
45,25 |
|
ср. |
2,46287 |
5,65625 |
|
3.2 Проверка значимости линейной регрессии
Определим на сколько близка к фактической регрессии линия регрессии. Для оценки качества описания зависимости показателя у от х с помощью уравнения линейной регрессии используется коэффициент детерминации В:
,
где
- значения результативного показателя,
рассчитанные по уравнению линейной
регрессии.
для расчета коэффициента детерминации приведены в таблице:
№ |
xi(инвестиции в ОК) |
yi (объем продукции) |
уi- |
(уi- )2 |
- |
( - )2 |
1 |
2,503 |
6,05 |
0,39375 |
0,155039063 |
0,07346 |
0,005396 |
2 |
1,767 |
4,54 |
-1,11625 |
1,246014063 |
-1,08206 |
1,170854 |
3 |
2,592 |
6,05 |
0,39375 |
0,155039063 |
0,21319 |
0,04545 |
4 |
2,238 |
5,12 |
-0,53625 |
0,287564063 |
-0,34259 |
0,117368 |
5 |
2,651 |
5,94 |
0,28375 |
0,080514063 |
0,30582 |
0,093526 |
6 |
2,415 |
5,56 |
-0,09625 |
0,009264063 |
-0,0647 |
0,004186 |
7 |
2,798 |
5,89 |
0,23375 |
0,054639062 |
0,53661 |
0,28795 |
8 |
2,739 |
6,1 |
0,44375 |
0,196914063 |
0,44398 |
0,197118 |
итого |
19,703 |
45,25 |
|
2,1849875 |
|
1,921849 |
ср.зн. |
2,462875 |
5,65625 |
|
|
|
|
Рассчитанный коэффициент детерминации B=0,88 близок к единице, следовательно, регрессия определена верно и хорошо описывает зависимость переменных у от х.