5.3 Координація управління виробництвом при нечіткій вихідній інформації

Розглянемо задачу координації вирішення в дворівневій системі керування, як складається з елементів нижнього рівня і центру, які описуються нечіткими моделями, на базі яких вирішуються локальні задачі векторної оптимізації.

Нехай вектор координуючих сигналів , посланих і-му елементу нижнього рівня, задовольняє лінгвістичним границям

, (5.63)

де – множина нечітких координуючих сигналів.

Нечіткі координуючі сигнали надходять до елементів нижнього рівня, і дозволяють перетворити векторні критерії елементів в скалярну величину:

де – число критеріїв.

При передачі інформації на верхній рівень вирішення кожної локальної системи представляється у вигляді нечіткого числа .

Доцільність такого представлення диктується бажанням передавати в центр формалізовану інформацію в вигляді, найбільш наближеному до прийнятого в реальних умовах виробництва.

Отримуючи узагальнені показники у вигляді нечітких чисел, центр прагне максимізувати деяку глобальну функцію, яка відображає результати діяльності всього підприємства в цілому. При цьому він виробляє нечіткі координуючі сигнали, які забезпечують такі співвідношення показників елементів нижнього рівня, що максимізують цілу функцію:

(5.64)

при обмеженнях

, (5.65)

де – нечіткі узагальнені показники; – нечіткі координуючі сигнали; – глобальні обмеження центру.

Переваги нечітких обмежень типу (5.65) очевидні і дозволяють досягати змінних для практики режимів шляхом їх виконання в рамках заданої нечіткої множини.

Поставлена задача нечіткої координації (5.63) – (5.65) розширює можливості ЛПТ, оскільки він в своїй діяльності керується не тільки жорсткими альтернативами, але й конкретною ситуацією на виробництві, спираючись при цьому на допомогу своєї інтуїції і досвіду.

Як було зазначено вище, в дворівневій системі керування для кожного із N елементів нижнього рівня вирішуються локальні задачі оптимізації. Ціль локальних систем, як правило, важко виразити одним критерієм, через що вона представляється вектором окремих критеріїв:

де Х – множина допустимих рішень, в яких міститься оптимальна точка.

Існуючі методи дозволяють вирішувати задачі оптимізації тільки зі скалярним критерієм, тому при наявності багатокритеріальності векторні критерії перетворюються в скалярні:

Специфіка вирішення задачі координації характеризується тим, що в центр передаються узагальнені показники, пов’язані з оптимальними технологічними параметрами нижнього рівня в наступному вигляді:

(5.66)

Згідно сформованої задачі нечіткої координації цей узагальнений показник представляється у вигляді нечіткого числа.

Для отримання нечітких в (5.67) приймаємо нечітким. Ці коефіцієнти характеризуються функціями приналежності

(5.68)

Тут компоненти А можуть приймати значення із інтервалу . Інтервал можливих значень А розбивається на l під інтервалів:

(5.69)

де l визначається в залежності від значення m в виразі (5.67).

Як показано в [3], таке квантування дозволяє знайти допустиму область за допомогою складових її підмножин в вигляді α-рівнів;

(5.70)

При цьому задача нечіткої оптимізації замінюється нескінченним рядом наближених задач лінійного програмування.

В дворівневій системі керування задача верхнього рівня заклечається в знаходженні значення координуючих сигналів , які забезпечують екстремальне значення глобальної цільової функції .

Необхідно відзначити, що на відміну від елементів нижнього рівня , де локальні задачі вирішуються в просторі змінних Х (тобто режимних параметрів технологічних процесів), задача верхнього рівня вирішується в просторі показників Ω (тобто координуючих сигналів, які забезпечують необхідне співвідношення показників елементів нижнього рівня), що суттєво знижує розмірність задачі координації.

В зв’язку з цим цільова функція центру виражається в коефіцієнтах простору координуючих сигналів.

Відповідно до поставленої задачі координації в дворівневій системі на основі нечітких математичних моделей нижнього і верхнього рівнів розглянемо алгоритм вирішення задачі координації, який складається з двох етапів.

Враховуючи, що координуючі сигнали є нечіткими числами, на першому (попередньому) етапі визначаємо нечіткі множини координуючих сигналів верхнього рівня , функції приналежності яких

(5.71)

Параметри функції приналежності, тобто Q i S вирахуємо для кожної конкретної нечіткої змінної наступним чином. Нехай . Множина побудована таким чином, що граничні точки виділених підмножин є точками переходу, тобто

Тоді

(5.72)

де .

Якщо позначити

(5.73)

Підставивши (5.73) в (5.71), отримаємо

Аналогічним методом визначаємо нечітку множину .

Другий етап – етап отримання вирішення задачі координації складається із наступних кроків.

Крок 1. Формування початкових значень координуючих сигналів .

Крок 2. Вирішення локальних задач оптимізації і визначення показників .

Крок 3. Вирішення задачі центру і визначення координуючих сигналів .

Крок 4. Представлення результатів вирішення задачі ЛПР. Якщо ЛПР задоволений вирішенням, то процедура координації закінчується. В протилежному випадку вносяться зміни із сторони ЛПР в координуючі сигнали і здійснюється перехід до кроку 2.

Зупинимося докладніше на кроках цього алгоритму. Після формування на кроці 1 координуючих сигналів на кроці 2 вирішуються локальні задачі оптимізації (5.66). Ці задачі є задачами нечіткого математичного програмування. Їх вирішення починають з арифметичних операцій над нечіткими числами. Спочатку нечітке число множать на кожне нечітке число , потім одержані числа сумують.

Реалізація алгоритму виконання арифметичних операцій над нечіткими числами здійснюється в послідовності, що приведена нижче.

Крок 2.1. Визначають множину – носій нечіткої множини F.

Крок 2.2. Дискредитують , виходячи з потрібної точності табличного представлення графіка функції .

Крок 2.3. Для кожного із отриманих розв’язують задачу

(5.74)

Розв’язком задачі (5.74) для заданого є множина , така, що

(5.75)

Крок 2.4. Дискретизують множину . Результатом дискретизації є кінцевий ряд значень

.

Крок 2.5. Визначають , таке, що

.

Крок 2.6. Для і а визначають і .

Крок 2.7. Обчислюють

де – операція max–min.

Крок 2.8. Для (перший елемент дискретизуючої множини ) приймається рівним одиниці .

Якщо після дискретизації , то . Дискретизація виконується згідно з необхідною точністю і допустимим часом обчислення із вибраного .

Крок 2.9. Кінець алгоритму. В отриманих точках обчислюються компромісні значення показників по (5.68).

Таким чином, в центр направляються об’єднані показники в вигляді нечіткого числа.

На кроці 3 вирішується задача центру, яка представляє собою задачу лінійного програмування з нечіткою цільовою функцією і нечіткими обмеженнями відносно координуючих сигналів – вагових коефіцієнтів локальної оптимізації.

Згідно [44], задача центру перетворюється в задачу з обмеженнями виду нерівностей.

В результаті розв’язання отриманої задачі знаходяться оптимальні значення координуючих сигналів. Останні представляються особі, що приймає рішення (крок 4). Якщо ОПР задоволена, то розв’язуються задачі векторної оптимізації для кожного елемента нижнього рівня шляхом підстановки нечітких координуючих сигналів.

В противному випадку, як вже відзначалось, вносяться зміни з боку ОПР в координуючі сигнали і здійснюється перехід до кроку 2. Тут при розв’язанні задачі використовується інформація від ОПР про бажані значення критеріїв, за рахунок введення інтегралів, визначаючих допустимі варіації критеріїв. Така людино-машинна процедура зручна для використання, так як ОПР легко пред’являє свої вимоги до інформації, переданої їм на нижній рівень.

Покажемо приклад розв’язання задачі координації для технологічної схеми, що складається із установок термічного і каталітичного крекінгу і що являється фрагментом технологічної схеми конкретного НПЗ.

Векторами показників елементів цієї схеми являються: для установки термічного крекінгу – вихід бензину, гасу, газу, вакуумного відгону і гудрону; для установки каталітичного крекінгу – вихід бензину і головка стабілізації.

В якості цільової функції верхнього рівня приймемо прибуток від реалізації, т. д. різницю між вартістю товарних нафтопродуктів, що поступають з сторони.

Для розв’язання задачі центру визначимо вхідні параметри елементів нижнього рівня, необхідні для керування цією системою, і позначимо їх наступними лінгвістичними змінними:

1. – вихід бензину з установки термічного крекінгу;

2. – вихід гасу;

3. – вихід газу;

4. – вихід вакуумного відгону;

5. – вихід гудрону;

6. – вихід бензину з установки каталітичного крекінгу;

7. – вихід головки стабілізації.

Для цих лінгвістичних змінних приймемо наступні терм-множини:

1. {мало; норма; багато},

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. {мало; норма; багато}.

Нечіткі моделі установок в позначених лінгвістичних змінних для установки термічного крекінгу будуть мати вигляд:

де

=0,5/0,9+0,8/0,92+1/0,93+0,8/0,95+0,5/0,98;

=0,5/0,925+0,8/0,928+1/0,93+0,8/0,933+0,5/0,937;

=0,5/0,875+0,8/0,882+1/0,901+0,8/0,906+0,5/0,91.

Локальну задачу оптимізації для цієї установки представимо в вигляді

(5.76)

Нечітка модель установки каталітичного крекінгу має вигляд:

де =0,5/0,008+0,8/0,01+1/0,011+0,8/0,012+0,5/0,14;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=0,5/0,994+0,8/0,998+1/1,007+0,8/1,011+0,5/1,019;

=0,5/76,3+8,8/78+1/79+0,8/80+0,5/81,5.

Локальна задача оптимізації має вигляд

(5.77)

В відповідності з вибраною цільовою функцією центра в якості критерію його оптимізації приймемо

(5.78)

де ц₁₁, ц₁₂, ..., ц₁₅, ц₂₂, ц₁, ц₂ – вартісні коефіцієнти центру; G₁, G₂ – відповідно кількість мазуту і вакуумного відгону.

Обмеженнями в задачі центру являються планові обмеження на сировину та рівняння балансу:

(5.79)

(5.80)

(5.81)

Задачу (5.78) – (5.81) перетворимо до наступної еквівалентної задачі в просторі нечітких координуючих сигналів:

(5.82)

при обмеженнях

; (5.83)

(5.84)

(5.85)

Дану задачу координації розв’яжемо за вказаною нижче послідовністю.

Складемо нечітку перехідну таблицю, попередньо прийнявши для показників нижнього рівня терм-множини:

1. Вихід бензину:

малий ………………………………………………………… 9–10

середній ……………………………………………………… 10–11

великий ……………………………………………………… 11–12

………………………………………………………………….

7. Вихід головки стабілізації:

малий ……..…………………………………………………. 27–28

середній ……………………………………………………... 28–29

великий ……………………………………………………… 29–30

Тепер розв’яжемо локальні задачі оптимізації. Після визначення об’єднаних показників елементів нижнього рівня розв’яжемо координуючу задачу, на її основі цент формує координуючі сигнали за допомогою лінгвістичних висловів збільшити, зменшити, зупинити.

Функції приналежності для різних лінгвістичних значень координуючих сигналів наведені в табл. 5.1.

Виберемо наступні значення координуючих сигналів:

середній; великий; середній;

середній; малий; великий;

малий.

Наведемо числовий розв’язок даної задачі координації. Задано

61 грн/т; 48 грн/т; 25 грн/т; 25 грн/т;

Таблиця 5.1

Лінгвістична змінна	Терм-множини	Область зміни	Q	S
1. 7.	Мало Норма Багато . . . Мало Норма Багато	0,12–0,13 0,13–0,14 0,14–0,15 . . . . . 0,30–0,33 0,33–0,36 0,36–0,39	0,693 0,693 0,693 . . . 0,674 0,674 0,674	0,125 0,135 0,145 . . . 0,315 0,345 0,375

18 грн/т; 25 грн/т; 125 т/год; 25 грн/т;

60 т/год.

При нульовому наближенні для координуючого сигналу в результаті розв’язання локальних задач векторної оптимізації отримуємо наступні значення для виходів елементів нижнього рівня:

=0,5/47,1+0,8/485+1/492+0,8/506+0,5/51,4;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=0,5/49,1+0,8/49,4+1/49,8+0,8/49,9+0,5/50,4;

Значення цільової функції Ф₀=775,9 грн/год.

Після цього розв’язується задача верхнього рівня (5.78) – (5.81).

В результаті розв’язання задачі центру отримуємо координуючі сигнали:

біля 0,15; біля 0,06; біля 0,09;

біля 0,51; біля 0,14; біля 0,45;

біля 0,55, які видаються ОПР. В його розпорядженні для кожного координуючого сигналу мають місце альтернативні лінгвістичні команди:

Особа, що приймає рішення, обирає команди, задовольняючі його, і направляє їх знову на елементи нижнього рівня (технологічні установки каталітичного і термічного крекінгу КК і ТК). Сприймаючи ці команди, елементи вирішують заново свої завдання локальної оптимізації і отримують рішення у вигляді узагальнених показників:

Оптимальне значення цільової функції Ф₀ = 835,2 грн/год. У результаті вирішення задачі координації прибуток збільшилася на 59,3 грн/год.

Вирішивши задачу координації в системі оперативного управління в детермінованій постановці і з використанням теорії нечітких множин, перейдемо до обговорення отриманих результатів. Остання підстановка передбачає в процесі вирішення задачі активний діалог між ЛПР та ЕОМ, в результаті якого ітеративно досягається компромісне вирішення. Зрозуміло, що на відміну від детермінованої задачі це вирішення більш піддається реалізації.

При нечіткої координації зміна в зовнішньому середовищі (неформалізована інформація) вводиться в модель за рахунок коригування вагових коефіцієнтів . Наприклад, ОПР знає, що один тип нафти має потенційну можливість вилучення з неї від 40 до 65% світлих продуктів, тоді як для іншого типу нафти ця цифра коливається від 28 до 50%, тому здійснюється коректування , і ця інформація оперативно враховується у вирішенні. Можливість такої корекції відсутня при детермінованій координації.

Інше істотні переваги нечіткої координації полягає в тому, що оптимальний режим, що запропонований оператору-технологу, надходить у вигляді нечітких чисел. Наприклад, температура на добірної тарілці має бути близько 220°С. Це дозволяє оператору, керуючись цією цифрою, все ж таки варіювати нею в залежності від конкретної ситуації.

При детермінованої координації оптимальне вирішення отримуємо у вигляді звичайних («чітких») чисел, підтримання такого вирішення не завжди представляється можливим. При цьому відхилення від даного режиму може призвести до непередбачених наслідків.

Нечітка координація дає можливість при отриманні результатів, які не задовольняють ОПР за точністю, переходити до більш малого розбиття терм-множини вхідних параметрів, які вже закладені в пам’яті ЕОМ. Ця процедура здійснюється без зупину розв’язання задачі координації.

Проведення обговорення дозволяє укласти, що нечітка координація в системах оперативного управління має у виправлені з детермінованою істотну перевагу.