6. Центрированная оптическая система и ее кардинальные элементы

Рассмотрим систему сферических поверхностей произвольных радиусов, разделяющих вещества с различными показателями преломления (рис. 1.14). Такую систему называют центрированной, если центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптической осью системы. Простейшим примером центрированной оптической системы является обычная линза – оптический элемент, изготовленный из прозрачного оптического материала (оптического стекла), форма которого определяется двумя ограничивающими его сферическими поверхностями.

Будем рассматривать ход параксиальных лучей. Прохождение пучка света в системе можно проследить, последовательно рассматривая преломление света на каждой сферической поверхности. При этом изображение объекта, формируемого предыдущей поверхностью, является предметом для следующей поверхности. Если при этом гомоцентричность пучка не нарушается, то оптическая система формирует стигматическое изображение точечного объекта.

Для центрированной оптической системы выполняется условие Лагранжа – Гельмгольца:

, (1.23)

где - размеры объекта, находящегося перед системой, - размеры изображения, формируемого всей системой.

Все соотношения, характеризующие оптическую систему, можно получить, рассматривая последовательно преломление лучей на отдельных сферических поверхностях. В частности, для линзы, изготовленной из материала с показателем преломления n и ограниченной двумя сферическими поверхностями с радиусами кривизны R₁ и R₂ соответственно (рис. 1.15), можно записать инвариант Аббе для каждой из поверхностей:

, (1.24)

. (1.25)

Считая линзу тонкой, примем . Будем считать также, что по обе стороны линзы находится одинаковая среда: . Тогда, комбинируя уравнения (1.24) и (1.25), получим формулу тонкой линзы:

. (1.26)

Считая поочередно каждое из расстояний и стремящимися к бесконечности, по (1.26) можно определить соответственно заднее и переднее фокусное расстояние линзы.

Некоторые общие свойства центрированной оптической системы можно установить и без детального анализа хода лучей через все поверхности. С такой целью вводят понятие об идеальной оптической системе. Идеальной оптической системой называют систему, отображающую любую точку пространства предметов в пространстве изображений стигматически, то есть пучки лучей, идущие от любой точки предмета, после прохождения систему пересекаются в одной точке. Такие точки называются сопряженными.

В идеальной оптической системе каждой прямой или плоскости пространства предметов должна соответствовать сопряженная прямая или плоскость пространства изображений. Таким образом, теория идеальной оптической системы есть геометрическая теория, в которой устанавливается соответствие между точками, линиями или плоскостями пространства предметов и пространства изображений.

Из изложенного выше следует, что при рассмотрении хода параксиальных пучков идеальную оптическую систему с достаточной точностью можно считать центрированной оптической системой. В теории идеальной оптической системы определяется ряд кардинальных точек и плоскостей, задав которые, можно полностью описать все свойства оптической системы и находить положение изображения, не рассматривая реального хода лучей в системе.

Пусть О₁О₂ – идеальная оптическая система, главная оптическая ось которой А₁А₂ (рис. 1.16). Если в пространстве предметов провести луч В₁Е₁, параллельный оптической оси, то, отвлекаясь от реального хода луча, можно утверждать, что в пространстве изображений ему соответствует сопряженный ему единственный луч. Этот луч может либо пересечь оптическую ось в какой-нибудь точке, либо идти параллельной оптической оси.

В первой ситуации лучу В₁Е₁ в пространстве изображений соответствует луч D₂F₂, выходящий из системы в точке D₂/торой луч А₁О₁, идущий вдоль оптической оси, пройдет систему без преломления. Сопряженный ему луч О₂А₂ также пойдет вдоль оси. Точка F₂ пересечения двух лучей D₂F₂ и O₂A₂ является изображением точки, в которой пересекаются лучи В₁Е₁ и А₁О₁, сопряженные с D₂F₂ и О₂А₂. Так как лучи В₁Е₁ и А₁О₁ параллельны друг другу, точка, сопряженная F₂, есть второй (задний) фокус оптической системы. Аналогичными рассуждениями можно обосновать то, что точка F₁ есть передний фокус системы. Плоскости, перпендикулярные оптической оси и проходящие через фокусы F₁ и F₂, называются соответственно передней и задней фокальными плоскостями.

Если продолжить до пересечения лучи В₁Е₁ и D₁A₁, а также лучи В₂Е₂ и D₂F₂, то получим точки R₁ и R₂, сопряженные друг другу. Опуская из этих точек перпендикулярны на оптическую ось, получим точки Н₁ и Н₂, сопряженные друг другу. Очевидно (см. рис. 1.16), что линейное увеличение в сопряженных плоскостях равно +1:

.

Таким образом, в системе имеется две сопряженные плоскости, перпендикулярные главной оптической оси, в которых линейное увеличение равно +1. Всякий отрезок, лежащий в одной из этих плоскостей, изображается равным и одинаково расположенным отрезком, лежащим в другой плоскости. Эти плоскости называют главными плоскостями оптической системы. Точки Н₁ и Н₂ пересечения главных плоскостей с оптической осью называют главными точками системы. Расстояния от главных точек до фокусов системы называют фокусными расстояниями системы: , .

Для одной преломляющей поверхности фокусное расстояние отсчитывают от ее вершины – обе главные плоскости совпадают друг с другом и с плоскостью, касательной к преломляющей поверхности в ее вершине.

Свойства кардинальных точек используются при построении изображений отрезков (предметов), перпендикулярных оптической оси (рис. 1.17).

Определим положение сопряженных точек и плоскостей, для которых угловое увеличение W =1. Такие точки и плоскости называют узловыми. На рис. 1.17 узловые точки обозначены К₁ и К₂. Из соответствующих узловых точек предмет и изображение видны под одинаковыми углами: u=u’.

Обозначим , . Тогда , . Воспользовавшись этими соотношениями и формулой Ньютона (1.15), можно записать:

. (1.27)

Тогда из (1.27) при условии, что W = 1, получим:

. (1.28)

Следовательно, угловое увеличение равно 1 при выполнении условий: , . Лучи В₁К₁ и В₂К₂ параллельны друг другу.

Таким образом, если известны положения фокусов, главных и узловых точек оптической системы, можно достаточно просто определить положение изображения объекта, расположенного перед оптической системой. При этом полезно помнить о важном свойстве оптических систем – об обратимости хода лучей в них.