9 Класс.

Глава X.

Метод координат.

Лемма: Если векторы ă и č Теорема: Любой вектор можно раз-

коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-

твует такое число k, что č=kă. ным векторам, причём коэффициен-

ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-

тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот- на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число. Координаты точки М = соответству-

ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-

ординат его концов.

Выпуклый четырехугольник

Ключевые слова: четырехугольник, выпуклый, сумма углов, площадь четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

• Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

• Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположними.

• Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

• Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.

• Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

• Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Виды четырехугольников

1. Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

   • Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые

   • Ромб— параллелограмм, у которого все стороны равны

   • Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны

2. Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

3. Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны

Декартова система координат

Ключевые слова: система координат, координаты точки, координаты вектора, середина отрезка, уравнение окружности.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° еe положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x₀ и y₀. Координата x₀ называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Расстояние между двумя точками: BC= (x1−x2)2+(y1−y2)2 

Координаты середины отрезка BC: x=2x1+x2 y=2y1+y2

Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении: если DBCD=k2k1, то x=k2k1+k2 x1+k1k1+k2 x2, y=k2k1+k2 y1+k1k1+k2 y2

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (y - y₁)(x₂ - x₁) = (x - x₁)(y₂ - y₁). Если x1 =x2 y1 =y2 , то это уравнение можно записать в виде y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Уравнение окружности с центром в начале координат: x² + y² = R²

Уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀₎ : (x - x₀)² + (y - y₀)² = R²