2.6.3. Синтез оптимальной траектории
Как
и в п. 2.5, оптимальная траектория будет
состоять из куска одной из гипербол
семейства (3) и (4) и куска линии переключения.
Из рисунка видно, что если точка
находится в полосе между прямыми
и
,
то оптимальная траектория
|
найдется.
Если же точка находится вне этой полосы
или на одной из прямых
,
,
то оптимальной траектории нет (Это
объясняется тем, что в задаче имеется
фазовое ограничение
|
,
так что
).
Пусть,
например, точка
содержится в этой полосе левее линии
переключения в верхней полуплоскости.
|
Тогда по одной из гипербол семейства (4) под управлением в некоторый момент дойдем до линии переключения и затем по линии переключения под управлением дойдем до точки . Эта траектория будет оптимальной, так как выполняется принцип максимума Понтрягина. |
Действительно,
при
,
т.е.
где
,
использовано управление
,
а при
,
т.е.
,
использовано управление
.
Это значит, что при постоянном векторе
при всех
(кроме
)
управление
выбрано так, что функция Понтрягина
имеет максимальное значение – выполняется
п.1) принципа максимума Понтрягина. Как
было отмечено раньше, п.2) выполняется
автоматически:
.
|
Оптимальное управление имеет вид
Аналогично определяются оптимальное управление и оптимальная траектория при других расположениях точки относительно линии переключения. |
.
Пример.
|
|
(в
момент
маятник
отклонен от положения равновесия на
угол 0,2 радиан и движется влево со
скоростью 1 ед.). Здесь
.
Можно убедиться, что точка
содержится в полосе управляемости
между прямыми
и
,
правее линии переключения в верхней
полуплоскости.□ До линии переключения дойдем по гиперболе семейства (3), проходящей через эту точку, под управлением . Найдем закон движения по такой гиперболе с момента из точки :
Закон движения имеет вид:
Гипербола имеет уравнение:
.
Найдем
точку её пересечения с линией переключения
(7) (у нас
)
Найдем момент попадания в эту точку:
.
Теперь
найдем закон движения из точки
с момента
по линии переключения – гиперболе
семейства (4):
Закон движения имеет вид:
Найдем
момент
попадания в точку назначения
(достаточно воспользоваться вторым
равенством):
.
Итак, оптимальная траектория имеет вид:
где
оптимальное
управление
Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:
В
момент
,
когда включили управление, маятник был
отклонен от положения равновесия на
угол 0,2 радиан влево и продолжал
отклоняться влево со скоростью 1 ед.
Чтобы замедлить и остановить его
отклонение влево, включили двигатель
на полную мощность
в направлении вправо. Маятник был
остановлен (скорость
)
при некотором положительном отклонении
(слева от положения равновесия). Это –
фазовое состояние
.
Под тем же управлением
маятник стал приближаться назад к
положению равновесия (уже с отрицательной
скоростью
).
Чтобы маятник не перескочил через
положение равновесия, в момент
управление было переключено на
(для замедления маятника). Это – фазовое
состояние
.
После этого маятник пришел в положение
равновесия со скоростью
(в момент
).
■