Конец формы

Пусть A – множество чисел, кратных 2; B – множество чисел, кратных 4; C – множество нечетных чисел. Тогда отношения между данными множествами верно изображены на диаграммах …

Решение: Множества и не пересекаются ( ), если они не имеют общих элементов. В этом случае на диаграмме фигуры, изображающие множества и , не должны пересекаться. Множества и пересекаются ( ), если они имеют общие элементы. В этом случае на диаграмме фигуры, изображающие множества и , должны пересекаться. Множество включено во множество ( ), если каждый элемент множества одновременно является элементом множества . В этом случае на диаграмме фигура, изображающая множество , должна находиться внутри фигуры, изображающей множество . Определим, в каком отношении находятся множества и , если – множество чисел, кратных 2, – множество чисел, кратных 4. Всякое число, делящееся на 4, делится на 2 (4, 8, 12, …). Следовательно, каждый элемент множества одновременно является элементом множества , то есть . Обратное же неверно: если число делится на 2, то оно не обязательно делится на 4 (например, 2, 6). Значит, на диаграмме фигура, изображающая множество , должна находиться внутри фигуры, изображающей множество . Таким образом, диаграмма верно изображает множества и , а диаграмма неверна. Определим, в каком отношении находятся множества и . – множество чисел, кратных 4; – множество нечетных чисел. Если число делится на 4, то оно делится и на 2, то есть является четным и не является нечетным. Значит, множества и не имеют общих элементов, то есть не пересекаются, . Следовательно, на диаграмме фигуры, изображающие множества и , не должны пересекаться, и диаграмма верно изображает множества и , а диаграмма неверна.

Тема: Основные понятия теории множеств

Начало формы

Конец формы

– множество чисел, оканчивающихся на 6, – множество четных чисел. Тогда о множествах и можно сказать, что …

Решение: Множество включено во множество ( ), если каждый элемент множества одновременно является элементом множества . Множества и не пересекаются ( ), если они не имеют общих элементов. Множества и пересекаются ( ), если у них есть общие элементы. – множество чисел, оканчивающихся на 6, – множество четных чисел. Множества и пересекаются, так как у них есть общие элементы – это четные числа, оканчивающиеся на 6, например, 16, 536, 4796. Значит, высказывание истинно, а высказывание ложно. Любое число, оканчивающееся на 6, является четным, то есть каждый элемент множества одновременно является элементом множества , значит, , то есть высказывание истинно. Но нельзя сказать, что любое четное число оканчивается на 6, то есть высказывание ложно. Таким образом, истинны высказывания и .

Тема: Основные понятия теории множеств

Начало формы

Конец формы

Пусть – множество слов, начинающихся с буквы «д», а – множество слов, состоящих из двух слогов. Известно, что и . Тогда может быть словом …

			дуб
			дорога
			добро
			робот

Решение: Если объект принадлежит множеству , то пишут . Если же объект не принадлежит множеству , то обозначают . Высказывание означает, что – слово, начинающееся с буквы «д». Утверждение означает, что – слово, не состоящее из двух слогов. Выясним значения истинности этих высказываний для каждого из предложенных слов. Если – это слово «добро», то оно начинается с буквы «д». Значит, . Слово «добро» состоит из двух слогов, следовательно, . Если – это слово «дуб», оно начинается с буквы «д». Значит, . Слово «дуб» не состоит из двух слогов, значит, . Если – это слово «робот», то оно не начинается с буквы «д». Значит, . Слово «робот» состоит из двух слогов, значит, . Если – это слово «дорога», то оно начинается с буквы «д». Значит, . Слово «дорога» не состоит из двух слогов, значит, . Таким образом, высказывания и выполняются только для слов «дуб» и «дорога».

Тема: Основные понятия теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны множества , . Тогда для них истинны следующие утверждения …

			« »
			« »
			« »
			« »

Решение: Множество включено во множество ( ), если каждый элемент множества одновременно является элементом множества . Множества и не пересекаются ( ), если они не имеют общих элементов. Множества и пересекаются ( ), если у них есть общие элементы. Определим, какие элементы входят в данные множества и . . . Каждый элемент множества является элементом множества , то есть , следовательно, утверждение « » истинно. Утверждение « » ложно, так как не каждый элемент множества является элементом множества . Множества и имеют общие элементы, поэтому эти множества пересекаются, то есть утверждение « » истинно, а утверждение « » ложно. Таким образом, истинны утверждения « » и « ».

Тема: Основные понятия теории множеств

Начало формы

Конец формы

О множествах , и известно, что , , . Тогда истинны следующие высказывания …

Решение: Множество включено во множество ( ), если каждый элемент множества одновременно является элементом множества . Так как и – элемент множества ( ), то – элемент множества ( ). Так как и , то . Таким образом, высказывания и истинны, а высказывания и ложны.

Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна

Начало формы

Конец формы

– множество однозначных чисел, меньших 9, – множество однозначных чисел, кратных 4. Тогда для них верны следующие высказывания …

Решение: Пересечение множеств и есть множество , состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Объединение множеств и есть множество , состоящее из всех элементов этих множеств. Найдем пересечение и объединение данных множеств. – множество однозначных чисел, меньших 9, значит, . – множество однозначных чисел, кратных 4, значит, . Пересечение этих множеств , объединение . Следовательно, верны высказывания и .

Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна

Начало формы

Конец формы

Известно, что пересечение множеств A и B есть интервал числовой оси Тогда множества A и B могут быть равны …

Решение: Найдем пересечение предложенных множеств. Полуинтервал представляет собой часть числовой оси от точки 1 до точки 5, включающая точку 1 и не включающая точку 5. Полуинтервал – это часть числовой оси от точки 2 до точки 7, не включающая точку 2 и включающая точку 7. Изобразим эти множества на рисунке: Пересечение множеств и есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. В нашем случае в него войдут точки числовой оси, принадлежащие обоим полуинтервалам и то есть все точки интервала Таким образом, Интервал – это часть числовой оси от точки до точки , не включающая точки и . Отрезок представляет собой часть числовой оси от точки до точки , включая точки и . Изобразим эти множества на рисунке: С помощью рисунка находим, что . Если , то В этом случае . Если , то общими для обоих множеств будут элементы , то есть . Таким образом, интервал числовой оси является пересечением множеств и , если или .

Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна

Начало формы

Конец формы

Даны множества и . Тогда справедливы следующие высказывания …

			«множество содержит 2 элемента»
			«множество содержит 5 элементов»
			«множество содержит 3 элемента»
			«множество содержит 7 элементов»

Решение: Найдем пересечение и объединение множеств и . Пересечение множеств и есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Эти множества имеют общие элементы и , то есть . Значит, справедливо высказывание «множество содержит 2 элемента». Объединение множеств и есть множество, состоящее из всех элементов этих множеств, то есть . Значит, справедливо высказывание «множество содержит 5 элементов».

Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна

Начало формы

Конец формы

Известно, что . Тогда истинны следующие высказывания …

Решение: Разность множеств и есть множество , состоящее из элементов множества , не являющихся элементами множества . То есть если , то и . Следовательно, высказывание будет истинно, а высказывание ложно. Пересечение множеств и есть множество , состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Так как и , то , значит, высказывание ложно. Объединение множеств и есть множество , состоящее из всех элементов этих множеств. Так как , то , следовательно, высказывание истинно. Таким образом, истинны высказывания и .

Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна

Начало формы

Конец формы

K – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 4, P – множество двузначных чисел, произведение цифр которых равно 3. Тогда истинны следующие высказывания …

			множество содержит 2 элемента
			множество содержит 2 элемента
			множество содержит 4 элемента
			множество содержит 6 элементов

Решение: Определим, из каких элементов состоят множества и . – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 4, то есть . – множество двузначных чисел, произведение цифр которых равно 3, то есть . Пересечение множеств и есть множество , состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Значит, , то есть высказывание «множество содержит 2 элемента» истинно, а высказывание «множество содержит 4 элемента» ложно. Объединение множеств и есть множество , состоящее из всех элементов этих множеств, то есть . Значит, высказывание «множество содержит 6 элементов» ложно. Разность множеств и есть множество , состоящее из элементов множества , не являющихся элементами множества . Удаляя из множества элементы и , входящие в , получим . Значит, высказывание «множество содержит 2 элемента» истинно. Таким образом, истинными являются высказывания «множество содержит 2 элемента» и «множество содержит 2 элемента».

Тема: Перестановки, размещения и сочетания

Начало формы

Конец формы

Из 10 разных цветков можно составить букет из 3 цветков ____ способами.

120 |

Решение: По условию задачи для составления букета надо выбрать 3 цветка из 10. Для этого нужно составить всевозможные трехэлементные подмножества из множества, содержащего 10 элементов. Так как в данном случае порядок элементов не имеет значения, то речь идет о сочетаниях из 10 по 3 элемента. Число различных сочетаний из по элементов вычисляется по формуле: . Значит, число способов выбора 3 цветков из 10 ( , ) равно .

Тема: Перестановки, размещения и сочетания

Начало формы

Конец формы

В автомашине 4 свободных места. Тогда три человека могут разместиться на них ____ различными способами.

24 |

Решение: В данном случае любое расположение 3 человек на 4 местах представляет собой упорядоченный набор из 3 элементов, выбранных из 4 элементов, то есть некоторое размещение. Так как все элементы набора различны, то речь идет о размещениях без повторений. Число размещений без повторений из по элементов находится по формуле . В нашем случае необходимо найти число размещений без повторений из 4 по 3 элемента, то есть , . Следовательно, три человека могут разместиться на 4 местах способами.

Тема: Перестановки, размещения и сочетания Количество всевозможных двузначных чисел, в которых цифры различны и отличны от нуля и единицы, равно …

   56 |     

Решение: В данном случае любая комбинация из 2 выбранных цифр представляет собой упорядоченный набор из 2 элементов, выбранных из 8 отличных от нуля и единицы цифр (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то есть некоторое размещение. Так как все цифры числа различны, то речь идет о размещениях без повторений. Число размещений без повторений из   по   элементов находится по формуле  . В нашем случае необходимо найти число размещений без повторений из 8 по 2 элемента, то есть  ,  . Следовательно, искомое количество чисел равно  .

Тема: Перестановки, размещения и сочетания

Начало формы

Конец формы

Количество всевозможных двузначных чисел, в которых цифры различны и отличны от нуля и единицы, равно …

56 |

Решение: В данном случае любая комбинация из 2 выбранных цифр представляет собой упорядоченный набор из 2 элементов, выбранных из 8 отличных от нуля и единицы цифр (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то есть некоторое размещение. Так как все цифры числа различны, то речь идет о размещениях без повторений. Число размещений без повторений из по элементов находится по формуле . В нашем случае необходимо найти число размещений без повторений из 8 по 2 элемента, то есть , . Следовательно, искомое количество чисел равно .

Тема: Перестановки, размещения и сочетания

Начало формы

Конец формы

Даны формулы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. . Тогда формула, с помощью которой вычисляется число всевозможных размещений без повторений из по элементов, имеет номер …

2 |

Решение: Число всевозможных размещений без повторений из по элементов вычисляется по формуле . Это формула под номером 2. Формула позволяет вычислять числа всевозможных размещений с повторениями из по элементов. Формула определяет число всевозможных сочетаний без повторений из по элементов. – это формула для вычисления числа всевозможных сочетаний с повторениями из по элементов.

Тема: Перестановки, размещения и сочетания

Начало формы

Конец формы

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа, начинающиеся с 1, в записи которых содержатся все данные цифры (цифры в записи числа не повторяются). Тогда количество таких чисел равно …

Решение: Так как первая цифра числа уже определена, то нам необходимо расставить на четырех местах 4 оставшиеся цифры. Так как порядок цифр числа имеет значение, то речь идет о перестановках из четырех элементов. Число различных перестановок из элементов вычисляется по формуле: . В нашем случае , следовательно, количество искомых пятизначных чисел будет равно .

Тема: Аксиоматический метод

Начало формы

Конец формы

Наибольшее число неопределяемых понятий содержит определение:

			луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку
			отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками
			круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью
			квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны

Решение: Неопределяемые понятия теории – это понятия, которые принимаются без определения. В планиметрии к ним, например, относятся такие понятия, как «точка», «прямая», «плоскость», «множество». Эти понятия нельзя определить, и их содержание можно выяснить только из опыта. К определяемым относятся понятия, которым даются определения с помощью неопределяемых и ранее определенных понятий. Рассмотрим предложенные определения и выясним, какое из определений содержит наибольшее число неопределяемых понятий. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Данное определение содержит 2 неопределяемых понятия: «прямая» и «точка». Луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку. Здесь присутствуют 3 неопределяемых понятия: «множество», «точка», «прямая». Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. В этом определении используется только одно неопределяемое понятие «плоскость» (понятию окружности в геометрии дается определение). Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. В данном определении не используется ни одно неопределяемое понятие (понятию прямоугольника и стороны прямоугольника в геометрии даются определения). Таким образом, наибольшее число неопределяемых понятий содержит определение: «луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку».

Тема: Аксиоматический метод

Начало формы

Конец формы

Понятие «точка» не используется при определении понятия …

			параллелограмм
			окружность
			радиус
			хорда

Тема: Аксиоматический метод

Начало формы

Конец формы

Определением является …

			предложение, которое раскрывает смысл некоторого понятия
			утверждение, которое можно вывести из ранее доказанных теорем и аксиом
			предложение, которое можно формулировать произвольно
			утверждение, которое принимается без доказательства

Решение: Определение – это предложение, которое раскрывает смысл некоторого понятия. Например, «квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Определение нельзя формулировать произвольно. Утверждение, которое принимается без доказательства, является аксиомой. Утверждение же, которое можно вывести из ранее доказанных теорем и аксиом, является теоремой. Таким образом, определение – это предложение, которое раскрывает смысл некоторого понятия.

Тема: Аксиоматический метод

Начало формы

Конец формы

Даны понятия: «прямая», «отрезок», «луч», «плоскость», «круг», «квадрат». Тогда количество неопределяемых понятий среди перечисленных равно …

			2
			3
			4
			1

Решение: Неопределяемые понятия теории – понятия, которые принимаются без определения. В планиметрии к ним, например, относятся такие понятия, как «точка», «прямая», «плоскость». Эти понятия нельзя определить, и их содержание можно выяснить только из опыта. К определяемым относятся понятия, которым даются определения с помощью неопределяемых и ранее определенных понятий. Рассмотрим предложенные понятия. Понятие «прямая» относится к неопределяемым. Понятие «отрезок» относится к определяемым. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Понятие «луч» также относится к определяемым. Луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку. Понятие «плоскость» относится к неопределяемым. Понятие «круг» относится к определяемым. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Понятие «квадрат» – это определяемое понятие. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Таким образом, только понятия «прямая» и «плоскость» относятся к неопределяемым. Следовательно, количество неопределяемых понятий среди перечисленных равно 2.

Тема: Аксиоматический метод

Начало формы

Конец формы

Понятие определяется через понятие в случае, если …

			– прямоугольник, – четырехугольник
			– четырехугольник, – трапеция
			– прямая, – луч
			– прямоугольник, – квадрат

Решение: Рассмотрим, определяется ли понятие через понятие в предложенных случаях. – прямоугольник, – квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Понятие определяется через понятие . – четырехугольник, – трапеция. Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Понятие определяется через понятие . – прямоугольник, – четырехугольник. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Понятие определяется через понятие . – прямая, – луч. Луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, включая саму эту точку. Понятие определяется через понятие . Таким образом, понятие определяется через понятие в случае, если – прямоугольник, – четырехугольник.