2.4. Эквивалентность ставок Основные положения
• Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки, методы наращения и дисконтирования.
• Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Таким образом, участникам финансового соглашения безразлично, какая ставка будет фигурировать в контракте.
• При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, используется следующая идея: если из первоначального капитала наращением за данное время необходимо получить некоторую сумму, то будут эквивалентными все ставки, обеспечивающие один и тот же множитель наращения. Поэтому приравнивая друг к другу множители наращения, получим соотношения между эквивалентными ставками. Точно так же при переходе от будущей стоимости к приведенной стоимости с помощью дисконтирования приравниваются множители дисконтирования.
• Эквивалентные ставки, подобно эффективным ставкам, позволяют сравнивать между собой финансовые контракты, условия которых различны.
• Формулы, связывающие эквивалентные простые и сложные ставки, зависят от продолжительности периода начисления. Формулы, связывающие эквивалентные сложные ставки, не зависят от продолжительности периода начисления.
• Переход от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непрерывным ставкам позволяет упростить анализ многих сложных финансовых задач. Осуществив необходимые математические выкладки, полученные результаты можно представить опять в любых удобных эквивалентных дискретных ставках, являющихся более привычными.
• Проблему эквивалентности ставок можно рассматривать и с более общих позиций, например эквивалентность одной ставки нескольким ставкам или эквивалентность двух наборов ставок и т.п.
Вопросы для обсуждения
1. Можно ли с помощью двух различных ставок получить один и тот же финансовый результат? Поясните на примере.
2. Можно ли сказать, что любая ставка характеризует доходность финансовой операции?
3. Какие ставки называют эквивалентными?
4. Почему участникам финансового соглашения безразлично, какая из эквивалентных ставок указывается в контракте?
5. Можно ли рассматривать определение эффективной ставки (процентной или учетной) как определение одной из эквивалентных ставок?
6. Какая идея используется при выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки?
7. В каких случаях эквивалентность процентных ставок не зависит от продолжительности периода начисления?
8. В каких случаях эквивалентность процентных ставок зависит от продолжительности периода начисления?
9. Для каких целей переходят от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непрерывным ставкам?
10.Приведите пример ситуации, когда ставка эквивалентна двум ставкам.
Типовые примеры и методы их решения
Пример 2.4.1. Господин N собирается поместить на некоторый срок свободные денежные средства либо под сложную процентную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните, как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года?
Решение. а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 30% эквивалентную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 48%. Используем формулу (81) при n = 3, m = 4 , r(4) = 0,3:
Так как r = 46,06% меньше 48%, то выгоднее на три года поместить капитал под простую процентную ставку 48%.
Конечно,
можно было найти эквивалентную сложную
процентную ставку для простой ставки
48% по формуле (82):
и поскольку r(4)>30%,
приходим, естественно, к такому же
выводу.
б) Полагая n = 4 , m = 4, r(4) = 0,3, по формуле (81) получим:
Так как r= 54,52% превышает 48%, то выгоднее на 4 года поместить капитал под сложную ставку.
Пример 2.4.2. Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d(4) = 32% . По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?
Решение. Полагая в формуле (83) n = 0,75, находим:
Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51% годовых. С целью проверки можно воспользоваться формулой (84), где d = 0,2591 :
или
32% .
Получив номинальную годовую учетную ставку, данную в условии примера, делаем вывод, что простая учетная ставка найдена верно.
Пример 2.4.3. Банком выдан кредит на три месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.
Решение. По формуле (87) при n = 0,25, r(12) = 0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:
или 25,83%.
Для проверки результата воспользуемся формулой (88):
т.е. получили исходную сложную процентную ставку.
Пример 2.4.4. Определите сложную годовую учетную ставку с дисконтированием 2 раза в год, которая эквивалентна годовой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) с полугодовым начислением сложных процентов.
Решение. а) Применяем формулу (92) при m=2, l=4, r(4)=0,24:
Проверим полученный ответ по формуле (91), где уже m=4, l=2:
б) Из формулы (92) при m = l = 2 , r(2) = 0,24 получим:
Заметим, что при m = l из формул (91) и (92) получим соответственно равенства:
и
которые по существу являются иной записью равенств (3).
Пример 2.4.5. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 26% годовых; б) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.
Решение. а) Полагая в формуле (94) n = 2, r = 0,26 , находим:
или 20,94%. 2
Проверку полученного ответа можно осуществить по формуле (93):
Из формулы (94) следует, что с ростом срока n величина эквивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться. Например, при n = 10 лет сила роста = 12,81%; при n = 100 лет – = 3,3%
б) По формуле (97) при m = 12 , r(12) = 0,26:
Для проверки воспользуемся формулой (98):
Заметим, что в отличие от предыдущего случая величина эквивалентной непрерывной ставки не зависит от величины срока, в течение которого происходит наращение.
Как
видно из решения случая б),
.
Вообще можно показать, что эквивалентные
ставки r(m),
d(l)
и
при любых m и l
удовлетворяют неравенствам: d(l)<
<r(m).
Пример 2.4.6. Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую процентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от предоставления ссуды.
Решение.
Покажем, что для данной ситуации нетрудно
получить формулу в общем виде. Пусть в
течение времени n используется
сложная процентная ставка r(m),
но при начислении процентов применяется
смешанная схема. Тогда по формуле (59)
множитель наращения имеет вид
,
где
(напомним, что квадратные скобки означают
целую часть числа),
.
Множитель наращения при использовании
простой процентной ставки согласно
формуле (9) имеет вид 1 + nr.
Приравнивая эти множители наращения,
находим, что эквивалентная простая
процентная ставка находится по формуле:
В
нашем случае
года, m = 4, r(4)=0,3,
поэтому:
т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%.
Таким
образом, из полученной выше формулы
следует, что простая процентная ставка
r эквивалентна по существу двум процентным
ставкам: сложной ставке r(m), применяемой
за время, равное целому числу подпериодов,
и простой ставке r(m), применяемой за
время, равное дробной части подпериода.
При этом если дробная часть подпериода
равна нулю (
= 0), то
и полученная выше формула совпадает с
формулой (81), а если целое число подпериодов
равно нулю (
= 0), то
и полученная формула примет вид r
=r(m).
Если бы начислялись только сложные проценты, то воспользовались бы формулой (81):
Пример 2.4.7. Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.
Решение.
Для определения эквивалентной простой
годовой учетной ставки нельзя
воспользоваться формулой (87), поскольку
при ее выводе считалось, что временные
базы ставок одинаковы. Однако необходимую
для решения данного примера формулу
нетрудно получить, приравнивая
соответствующие множители наращения.
Пусть Td
и Tr
– временные базы соответственно учетной
и процентной ставок, тогда из
получим:
Таким образом, полагая r(1) = 0,2 , Тr = 365 дней, Тd = 360 дней, t = 250 дней, получим:
Кстати, если бы взяли одинаковую временную базу, то при Тd = Тr = 360 дней получили бы d = 17,13% , а при Тd = Тr = 365 дней – d = 17,14%.
Задачи
2.4.1. Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесячным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.
2.4.2. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.
2.4.3. Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начислением сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку 34% годовых, чтобы финансовые последствия для сторон не изменились? Срок контракта – 450 дней, финансовый год равен 365 дней.
2.4.4. Наращение осуществляется по простой процентной ставке 24% годовых в течение полутора лет. Определите годовую номинальную процентную ставку с начислением сложных процентов 4 раза в год, которая обеспечивает такую же величину наращенной суммы.
2.4.5. Вексель учтен в банке за полгода до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d(12) =27%. По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?
2.4.6. Банк учитывает вексель за 45 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке 18% годовых. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?
2.4.7. Определите сложную учетную ставку, эквивалентную годовой номинальной процентной ставке 24% с ежемесячным начислением сложных процентов.
2.4.8. Определите номинальную годовую процентную ставку с ежемесячным начислением сложных процентов, которая эквивалентна: а) номинальной годовой процентной ставке 28% с полу годовым начислением сложных процентов; б) номинальной годовой учетной ставке 28% с ежеквартальным начислением сложных процентов.
2.4.9. Чему равна номинальная годовая учетная ставка с дисконтированием 4 раза в год, эквивалентная номинальной годовой учетной ставке 34% с дисконтированием 12 раз в год?
2.4.10. Банк учитывает вексель по годовой номинальной процентной ставке r(12)=22%. Какой величины должна быть сложная учетная ставка, используемая вместо процентной, чтобы доход банка не изменился?
2.4.11. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение года, которая эквивалентна процентной ставке 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов.
2.4.12. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит: а) по полугодиям; б) каждые два месяца; в) ежемесячно; г) непрерывно.
2.4.13. Банк учитывает долговое обязательство по сложной учетной ставке 18% годовых. По какой номинальной годовой учетной ставке d(m) банк должен учитывать долговое обязательство, чтобы доход банка не изменился, если: а) m = 4; б) m = 6; в) m = 12?;
2.4.14. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение трех лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 24% годовых; б) сложной процентной ставке 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.
2.4.15. Банк предоставляет ссуду на 39 месяцев под 16% годовых с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую процентную ставку. Как изменится результат в случае начисления только сложных процентов?
2.4.16. Вексель учтен в банке за 26 месяцев по номинальной учетной ставке d(4)=28% годовых, причем дисконтирование осуществлялось по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую учетную ставку.
2.4.17. Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 28% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.
2.4.18. Банк учитывает вексель за 300 дней по сложной учетной ставке 24% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, чтобы обеспечить получение банком такого же дохода? При выдаче кредита используется временная база 365 дней.