46

3.8. Равномерный закон распределения

Дифференциальная функция распределения:

И нтегральная функция распределения:

Основные характеристики равномерно распределенной случайной величины Х:

Пример. Случайная величина X равномерно распределена в интер­вале (2; 8). Записать функцию распределения и основные характеристики случайной величины X.

3.9. Показательный закон распределения

Дифференциальная функция распределения

Интегральная функция распределения:

Основные характеристики показательно распределенной случайной величины Х:

Пример. Написать плотность и функцию распределения показатель­ного закона, если параметр  = 5. Найти вероятность попадания величены Х в интервал (l; 2).

3.10. Нормальный закон распределения

Дифференциальная функция распределения:

Функцию (х) см. в Приложении 1 и п.2.3.

Интегральная функция распределения: .

Функцию Ф(х) см. в Приложении 2 и п.2.5.

Основные характеристики нормально распределенной случайной величины Х:

где а – ожидаемое среднее значение, оно наиболее вероятно. При Х = а кривая Гаусса имеет максимум;  ­– характеристика рассе­ивания. При Х = а   кривая Гаусса имеет перегибы, которыми определяется степень «расплывчатости» кривой, площадь под которой равна единице.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной вели­чины в заданный промежуток (; ):

Вероятность заданного отклонения у нормально распределенной случайной величины X от среднего значения а:

При ;

при

при .

Правило трех сигм (3). Почти достоверно (с вероятностью 0,997  1), что значения нормально распределенной случайной величены Х отклоняются от среднего значения а не более, чем на 3, т.е. Х  (а-3, а+3) с вероятностью 99,7%.

3.11. Нормально распределенная случайная величина. Примеры

Пример1. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что М(Х)=3, D(Х)=4. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 8), a также вероятность ее отклонения от ожидаемого среднего а не бо­лее, чем на 1. Результаты пояснить графически.

Решение: 1) ,

где .

Таким образом,

2) ;

3) ;

.

Тема 4. Элеметы математической статистики

4.1. Выборочный метод

Это один из основных методов математической статистики.

Генеральная совокупность – совокупность объектов изучения, N – её объем (количество всех объектов).

Выборочная совокупность – совокупность объектов, отобранных для изучения, n – объем выборки.

То есть, вместо большей совокупности объектов изучается сово­купность объема, значительно меньшего по количеству объектов. Результаты, полученные при изучении выборки, распространяются на объ­екты всей генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть правильно представ­лять генеральную совокупность, это обеспечивается случайностью отбора.

ВИДЫ ОТБОРА

Простой случайный: Сложный случайный:

Повторный Типический

Бесповторный Механический

Серийный

Простой случайный отбор – производится без деления генераль­ной совокупности на части.

Повторный отбор – отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторный отбор – отобран. объект не возвращается в генеральную совокупность.

Сложный случайный отбор – производится после предварительного деления генеральной совокупности на части.

Типический отбор – генеральная совокупность делится на типы, из каждого типа случайно отбираются объекты пропорционально объему типов.

Механический отбор – генеральная совокупность делится на части механически, из каждой части случай­но отбираются объекты.

Серийный отбор - генеральная совокупность делится на серии, и случайным образом отбираются целые серии объектов.