Основные понятия по теме

Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока (рисунок 8.1), то напряжение на нем U_c экспоненциально возрастает, асимптотически стремясь к ЭДС источника. При этом сила тока I (направление тока указано на рисунке 8.1), проходящего через сопротивление R, убывает по экспоненте, уменьшаясь до нуля.

Процесс зарядки конденсатора можно описать с помощью закона Ома для полной цепи:

(8.1)

согласно которому сторонняя ЭДС равна сумме падений напряжения на всех участках цепи (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем). В выражении (8.1) учтено, что напряжение U_c на обкладках конденсатора связано с зарядом Q соотношением U_c = Q/C , где С – емкость конденсатора.

Рисунок 8.1 – Принципиальная схема заряда

и разряда конденсатора

Дифференцируя (8.1) по времени и принимая во внимание, что сила тока равна скорости изменения заряда на обкладках

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

(8.2)

Решение уравнения (8.2) имеет вид:

(8.3)

где постоянная интегрирования I₀ , равная силе тока в момент времени t = 0, может быть определена из начальных условий. Поскольку в начальный момент времени Q = 0, (заряд на обкладках не успел накопиться), то из (8.1) следует:

. (8.4)

При разрядке конденсатора соответственно справедливы соотношения

(направление тока изменилось на противоположное, происходит уменьшение заряда на обкладках, начальное напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника). В результате зависимость силы тока от времени остается неизменной.

Из уравнения (8.3) находим закон изменения напряжения U_R на сопротивлении R и напряжения на конденсаторе U_C (рисунок 8.2):

(8.5)

(8.6)

Рисунок 8.2 – а) зависимость силы тока в цепи от времени;

б) изменение напряжения U_R на сопротивлении R в зависимости

от времени; изменение напряжения на емкости U_C в зависимости

от времени (осциллограмма)

Для характеристики средней скорости изменения силы тока в цепи при зарядке и разрядке конденсатора вводится в рассмотрение время релаксации системы:

( 8.7)

в течение которого сила тока уменьшается в е раз, т. е. сила тока при t =  составляет 0,368 от максимального значения

Формула зависимости силы тока I и напряжений U_R и U_C от времени при разрядке конденсатора через сопротивление R при отключенном источнике тока находится из уравнения U_С = IR. Студентам самим предоставляется возможность выполнить решение этой задачи и убедиться в том, что U_С , I и U_R при разрядке конденсатора изменяются по одному и тому же закону: exp(-t/RC). Если прологарифмировать выражение (8.3), получаем:

(8.8)

то есть изменение логарифма силы тока прямо пропорционально времени. При этом угловой коэффициент прямой, графически выражающий зависимость lnI = f(t), связан со временем релаксации обратной зависимостью tg = 1/. Точка пересечения прямой с осью ординат дает значение логарифма начальной силы тока (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 – Определение времени релаксации

из графика lnI = f(t)

На практике часто используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. Емкость нескольких параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

В случае последовательного соединения конденсаторов справедлива такая же формула, как при параллельном соединении резисторов:

где N – количество соединенных конденсаторов.