65

Механика Лекция 1

Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел или их частей друг относительно друга.

Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.

К телам больших (по сравнению с массой атомов) масс и малых (по сравнению со скоростью света) скоростей можно считать справедливой ньютоновскую (нерелятивистскую) механику. В этой механике пространство и время абсолютны, т.е. не зависят как друг от друга, так и от присутствующих в пространстве тел.

Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение и время, отсчитываемое часами, называется системой отсчёта. Для количественного описания движения систему отсчёта связывают с какой либо системой координат (декартовой, полярной, сферической и т.д.).

Рассмотрим движение материальной точки в декартовой системе координат.

В момент времени t₁ тело находится в точке 1, положение которой определяется радиус-вектором . За промежуток времени Δt тело проходит в точку 2. Расстояние ΔS между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется путём между этими точками. Отрезок прямой, проведённый из начального положения в конечное, называется перемещением. Перемещение совпадает с приращением радиус-вектора .

В системе СИ путь и перемещение имеют размерность – метр.

Средняя скорость .

Средняя путевая скорость .

Мгновенная скорость или просто скорость - вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке.

Модуль скорости .

В системе СИ скорость имеет размерность – м/с.

В проекциях на координатные оси

, где

- единичные векторы (орты), направленные вдоль соответствующих осей.

, где .

.

В случае плоского движения точки М иногда удобно пользоваться полярными координатами r и φ, где r – расстояние от полюса О до т.М, а φ – полярный угол, отсчитываемый от полярной оси ОА.

Скорость точки М можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие – радиальную скорость и трансверсальную скорость

.

Причём

– полярный радиус-вектор точки М,

– единичный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости движения точки так, что из его конца вращение вектора при увеличении полярного угла φ видно происходящим против часовой стрелки.

Модуль вектора скорости точки М, совершающей плоское движение,

.

Ускорение

Средним ускорением точки в интервале времени от t до t+Δt называется вектор

.

Ускорением называется векторная величина , равная первой производной по времени от скорости

.

При разложении вектора по базису прямоугольной декартовой системы координат получаем

Модуль вектора ускорения

.

В общем случае траектория материальной точки представляет собой не плоскую, а пространственную кривую. Для такой кривой вводится понятие соприкасающейся плоскости. Соприкасающейся плоскостью в произвольной точке М кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки кривой, когда эти точки неограниченно приближаются к точке М.

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости, проведённой в рассматриваемой точке М траектории, и направлен в сторону вогнутости траектории В.С. В этой плоскости вектор ускорения можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие

.

– касательное или тангенциальное ускорение точки.

, где – единичный вектор касательной, проведённый в т.М траектории в направлении скорости .

Если , то движение называется равнопеременным. При равнопеременном движении модуль скорости точки зависит от времени линейно:

.

Составляющая называется нормальным или центростремительным ускорением точки.

, где – единичный вектор главной нормали, а R – радиус кривизны траектории.

Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости точки, а нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.