1.1.7. Малые выборки.

Как уже отмечалось, величина стандартной ошибки выборочных оценок зависит от объема выборки и степени колеблемости (вариативности) изучаемого признака в генеральной совокупности. Причем, чем меньше объем выборки, тем большую величину стандартной ошибки следует ожидать, а это, в свою очередь, снижает точность оценки параметров генеральной совокупности. При выборках небольшого объема величина выборочной дисперсии, используемой в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности, может в значительной мере быть подвержена влиянию случайных факторов. Поэтому при выборках небольшого объема методы оценки результатов исследований видоизменяются по сравнению с применяемыми в теории больших выборок.

К безусловно малым выборкам относятся выборки объемом менее 30 единиц. Первые работы в теории малой выборки были сделаны английским математиком В. Госсетом (псевдоним «Стьюдент») в 1908 г. и продолжены в работах Р. Фишера. Закон распределения и соответствующие критерии Стьюдента, в том числе и для малых выборок, нашли широкое применение в математической статистике.

Величина средней квадратической (стандартной) ошибки простой случайной повторной малой выборки может быть определена по формуле (1.4)

, (1.7)

где в отличие от формулы (1.1) используется смещенная дисперсия

,

не использующаяся как оценка генеральной дисперсии.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение распределения Стьюдента. Оздоровительный центр, рекламируя свои услуги, предлагает клиентам за короткий срок снижение веса до 10 кг. По результатам выборочного обследования 15 женщин, воспользовавшихся услугами центра, были получены следующие данные о снижении веса:

Таблица 1.1.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Снижение веса, кг	10,2	7,6	6,1	8,4	6,0	5,7	13,7	6,9	5,2	6,1	5,0	3,7	4,7	3,6	3,2

1. Определим выборочное среднее: , т. е. среднее снижение веса у обследованных женщин составило 6,41 кг.

2. Определим выборочную дисперсию: кг.

3. Определим среднюю квадратическую ошибку данной малой выборки (1.7): кг.

4. Оценим с доверительной вероятностью предел возможных расхождений выборочной средней и генеральной средней, т. е. предельную ошибку выборки. Для этого воспользуемся статистической таблицей предельных (критических) значений распределения Стьюдента (t – распределения). Входными в таблицу данными являются: уровень доверительной вероятности и число степеней свободы, которое в данном случае определяется следующим образом: . Для этих двух входных параметров получим табличное значение критерия Стьюдента .

Тогда с вероятностью 99 % можно полагать, что ошибка генеральной средней не будет больше величины предельной ошибки выборки (предельной ошибки выборочной средней) кг. В этом случае снижение веса пациентов оздоровительного центра будет находиться в пределах , т. е. от 4,3 до 8,52 кг. Следовательно, указанное в рекламе снижение веса на 10 кг имеет столь малую вероятность, что считается событием, практически невозможным.