Задача 4 а. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка

1. Линейная модель: однофакторное уравнение регрессии первого порядка:

. (1)

Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов .

2. Взаимосвязь нормированных значений фактора Х₁ с натуральными значениями фактора х₁ задаётся следующими формулами:

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

где  ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора , соответственно. Если , то .

3. Матрица планирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, состоящая из N опытов с числом дублей n в каждом опыте, включает в себя столбцы: N, , , , , , значения которых позволяют выполнить предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверка выборочных дисперсий на однородность, расчёт дисперсии воспроизводимости).

Для построения матрицы планирования сначала создаётся столбец нормированных значений фактора . Из соображений простоты и универсальности построим матрицу планирования на базе равномерного симметричного плана (РСП), состоящего из N опытов, в котором значения варьируются на равноотстоящих друг от друга уровнях ( ):

, . (6)

Затем, используя уравнения (3) – (6), построим для РСП столбец натуральных значений :

, . (7)

4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования с числом опытов N ( ) и числом дублей в каждом опыте n ( ).

4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:

, . (8)

4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:

, . (9)

4.3. Проверка всех N выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .

; (10)

‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;

‑ выборочные дисперсии с доверительной вероятностью р однородны, если

, (11)

‑ выборочные дисперсии с доверительной вероятностью р неоднородны, если

. (12)

Если выборочные дисперсии неоднородны, необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.

4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы рассчитываются по формулам:

, (13)

. (14)

5. Матрица моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, состоящая из N опытов с числом дублей n в каждом опыте, включает в себя столбцы: N, , , , , , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).

Столбец нормированного фактора состоит из элементов .

Нормированные значения фактора для РСП рассчитываются по уравнению (6):

5.1. Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка при условии, что факторы Х₀ и Х₁ ортогональны, рассчитываются по формулам:

; (15)

. (16)

5.2. Проверка коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость.

Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного уравнении регрессии первого порядка для РСП при условии, что факторы Х₀ и Х₁ ортогональны, рассчитываются по формулам:

; (17)

. (18)

Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитываются по критерию Стьюдента:

, (19)

, (20)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.

Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:

, (21)

. (22)

Если для какого-либо коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот коэффициент незначим и его необходимо исключить из полученного уравнения регрессии.