П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).

Определение. Теорема, противоположная обратной, называется , записывается: : .

Запишем теорему, противоположную обратной теореме :

: ( , - углы), ( ( , - не вертикальные)) – если углы и не равны, то они не вертикальные – это истинное выска­зывание. Таким образом, теоремы и имеют одинаковые ло­гические значения.

Предложение: теоремы и (противоположная обратной) имеют одинаковые логические значения.

Замечание: доказательство от противного часто сводится к дока­зательству теоремы, противоположной обратной.

§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.

Описание множества: под словом множество понимается сово­купность объектов, которая рассматривается как одно целое. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность», «класс».

Определение. Объект, входящий во множество, называется его элементом.

Запись обозначает, что является элементом множества . Запись обозначает, что не является элементом множества . Про любой объект можно сказать, является он элементом множества или нет.

- истина.

Не существует объекта, который одновременно принадлежит множеству и не принадлежит.

- ложь.

Множество не может содержать одинаковых элементов, т.е. если из множества, содержащего элемент , удалить элемент , то полу­чится множество, не содержащее элемент .

Определение. Два множества и называются равными, если они содержат одни те же элементы.

;

П.2. Подмножества.

Определение. Говорят, что множество является подмножест­вом , если каждый элемент из множества лежит во множе­стве , пишут: . Другими словами:

- истина.

Для любых множеств , , выполняются свойства:

1. Рефлективность: .

Доказательство: - истина .

2. Транзитивность: .

Доказательство: .

3. Антисимметричность: .

Доказательство: множества состоят из одинако­вых элементов.

4. Для любого предиката , определенного для множества , суще­ствует множество, состоящее из тех элементов множества , для ко­торых истинно.

Пример.

- множество действительных чисел.

- множество положительных действительных чисел

- множество отрицательных действительных чисел

- множество положительных действительных чисел и нуль

- множество натуральных чисел

- множество натуральных чисел и нуль

- множество целых чисел

, , , , , , .

П3. Пустое множество.

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается: .

.

Свойства пустых множеств.

1. Пустое множество единственно.

Доказательство: , - пустые множества. .

2. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Доказательство: .

П.4. Операции над множествами.

Определение. Объединением двух множеств и называется множество, которое состоит из элементов множеств и , и не содер­жит никаких других элементов.

Обозначается : .

Д иаграмма Эйлера – Венна:

Определение. Пересечением множеств и называется множе­ство, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству и множеству , и не содержит других элементов.

Обозначается: .

Д иаграмма Эйлера – Венна:

Определение. Разностью двух множеств и называется мно­жество, которое состоит из тех элементов , которые не принадлежат множеству , и не содержит других элементов.

Обозначается: .

Д иаграмма Эйлера – Венна:

Определение. Симметрическойой разностью множеств и , обо­значается , (или дизъюнктивной суммой, обозначается ), на­зывается множество всех элементов, принадлежащих или множеству или множеству , но не обоим вместе.

Д иаграмма Эйлера – Венна: