Современные задачи многомерного анализа в энцефалографии

грамма производит стандартную обработку ключевых слов (морфологический анализ, разбиение составных слов, выявление одинаковых слов и т.д.). Затем производится упорядочение таблиц и полей в источниках данных с учетом их релевантности потребностям приложений в данных, группируются таблицы и поля, которые являются избыточными или могут быть порождены одно другим (так что избыточные или несущетственные таблицы и поля могут быть удалены), и группы упорядочиваются с учетом их релевантности потребностям приложений в данных.[5]

Проблемы производительности и масштабируемости

В системах РБД для выборки небольшого количества нужных записей без полного сканирования таблицы или базы данных используются различные методы доступа, такие как индексы на основе хеширования или B+-деревьев. Такие методы доступа весьма эффективны при выборке по одному ключевому полю (или небольшому числу полей), когда результаты представляют собой малую часть таблицы. Примерами подобных запросов являются: <<найти всех 25-летних людей>>, <<найти всех инженеров-программистов>> или <<найти всех 25-летних инженеров-программистов>>. Для быстрого ответа на такие запросы можно создать индексы: на столбце <<Возраст>> таблицы <<Сотрудники>>, на столбце <<Занимаемая должность>> таблицы <<Сотрудники>> и на столбцах <<Возраст>> и <<Занимаемая должность>> таблицы <<Сотрудники>> соответственно.

Однако методы доступа в общем случае не помогают при ответе на запросы, результатами которых является значительная часть таблицы. Примерами являются запросы: <<найти всех сотрудников женского пола>>, <<найти всех некурящих сотрудников>> и <<найти молодых сотрудников>>. Кроме того, методы доступа не приносят пользы, если значения столбца часто изменяются, поскольку такие изменения требуют перестройки методов доступа. Это примеры <<простых>> запросов, для выполнения которых методы доступа в системах РБД оказываются бесполезными.

Помимо подобных <<простых>> запросов существуют два класса операций, для которых методы доступа в системах РБД становятся бессильными. К первому классу относятся операции <<агрегации>>, предусматривающие группировку всех записей таблицы и применение к сгруппированным записям агрегатных функций (среднего значения, общего числа, суммы, минимального или максимального значения). Этот тип операций важен в таких приложениях как анализ данных Webжурналов, сегментации данных о заказчиках и т.д. На рынке имеются продукты MaxScan и Ab Initio, предназначенные для решения проблем производительности и масштабируемости при выполнении данного типа операций. В MaxScan применяется метод хранения таблиц по полям, методы хеширования для группировки и агрегирования записей, а также методы параллельной обработки. Производительность и масштабируемость при выполнении агрегатных операций в 10-20 раз превышают показатели систем РБД. Ab Initio является средством ETL, в котором в механизме трансформации данных используются методы повышения производительности.

К другому классу относится операции <<перемещения файлов>>, читающие и/или записывающие файл(ы) целиком. Этот тип операций важен на этапе требующем больших временных затрат <<преобразования данных>> при создании хранилища данных или на этапе <<подготовки данных>> при автоматическом извлечении знаний (добыче данных) из имеющихся источников. Этап преобразования данных включает трансформацию формата и представления данных в заданных полях (изменение единицы измерения, изменение формата даты и времени, изменение аббревиатуры и т.д.), слияние двух или более полей в одно, расщепление поля на два или более полей, сортировку таблицы, построение обобщенной таблицы из таблиц, содержащих детализированные данные, создание новой таблицы путем соединения двух или более таблиц, слияние двух или более таблиц в одну, расщепление таблицы на две или более и т.д. К этапу подготовки данных относятся преобразование данных заданного поля в цифровой код (в нейронных сетях), преобразование непрерывных цифровых данных в заданном поле в категорические данные (например, возраст, превышающий 60 лет, считается <<пожилым>>), добавление к записи нового поля, взятие из таблицы образцов данных, репликация в таблице некоторых записей (для достижения желаемого распределения записей) и т.д. Более подробное обсуждение этих операций приводится в.

Сегодня операции перемещения файлов находятся в почти полной зависимости от последовательных операций систем РБД над файлами, т.е. чтения одного или более файлов, создания временного файла и записи результирующего файла или файлов. Частота выполнения подобных операций и объем используемых данных может сделать оправданным применение сервера преобразования/подготовки данных. В идеале такой сервер может состоять из нескольких параллельно работающих процессоров. Независимо от конфигурации процессора на нем должны выполняться программ-

304

ные средства преобразования/подготовки данных, спроектированные для параллельной обработки. Когда это оправданно, нужно применять конвейерную параллельную обработку, при которой получение частичных результатов одной операции инициируют выполнение другой операции без потребности ожидания завершения первой операции. Конвейерная параллельная обработка устраняет потребность в записи во временный файл полных результатов одной операции и в их чтении следующей операцией, что позволяет сэкономить два ввода-вывода файла. Для создания сводных таблиц вместо <<родных>> функций системы РБД имеет смысл использовать механизм быстрой сортировки, такой как SyncSort, или механизм быстрого агрегирования, такой как MaxScan. Кроме того, для выполнения вычислений <<запись за записью>> (выборка образцов, преобразование формата или представления данных и т.д.) имеет смысл разбить файл на несколько подфайлов и назначить каждому из них отдельный процессор для обеспечения параллельной обработки.

Заключение

При реализации проектов по построению хранилищ данных возникает ряд общих задач, независящих от предметной области: проектирование структуры иерархических измерений; проектирование структуры медленно меняющихся измерений; проектирование и актуализация агрегатных значений.

Встатье были рассмотрены возможные решения этих задач, приведены способы реализации иерархических измерений с помощью введения дополнительных атрибутов, а также с помощью введения дополнительной таблицы. Однако во всех рассмотренных задачах существуют нерешенные вопросы.

Вэтой статье мы выделили три основных проблемы, которым уделяется недостаточное

внимание при создании хранилищ данных: качество данных, оптимальный выбор источников данных и производительность и масштабируемость. На рынке имеется несколько средств очистки данных, которые начинают применяться для очистки грязных данных разнообразных типов. Однако эти средства, конечно, не затрагивают все типы грязных данных, и, конечно, лишь немногие предприятия принимают на вооружение такие средства или процессы для предотвращения или обнаружения и очистки грязных данных, а также для отслеживания и проведения количественной оценки качества данных в хранилищах данных. Сегодня в хранилищах данных содержится множество данных, которые никогда не используются приложениями, выполняемыми над этими хранилищами данных, и эти ненужные данные являются одной из причин снижения эффективности выполнения запросов. Нужно обеспечить возможность регистрации полного набора запросов, генерируемых всеми приложениями, и использования таблиц и полей, фигурирующих в запросах, для тонкой настройки содержимого хранилищ данных. В сегодняшних хранилищах данных для хранения данных и управления ими в значительной степени используются системы РБД. Однако возможности сегодняшних систем РБД не достаточны для обработки запросов, ориентированных на сканирование, таких как группировка записей и вычисление агрегатов, и операций перемещения файлов, которые преобладают на этапе преобразования данных хранилищ данных и этапе подготовки данных при добыче данных.[6]

305

Литература:

1.В. Мастицкий: «Общее описание и развитие технологий хранения данных». Терабайт

08.2003.

2.Joerg Reinschmidt, Allison Francoise, Business Intelligence Certification Guide. IBM Red Books.

3.W. Inmon, Building the Data Warehouse. John Willey & Sons, New York, 1992

4.А.Сутолов: «Особенности построения информационных хранилищ», журнал «Открытые системы» 04.2003

5.В. Ким. «Три основных недостатка современных хранилищ данных», журнал «Открытые сисемы» 02. 2003

6.Erhard Rahm, Hong Hai Do, Data Cleaning: Problems and Current Approaches. IEEE Data Engineering Bulletin, 23(4): 2000.

306

Нейросетевые алгоритмы в задачах автоматизации проектирования

К.В. Богданов

Вструктуре задач САПР автоматизированных технологических комплексов (АТК) выделяются следующие направления, для работы на которых применимы алгоритмы на основе нейронных сетей:

1. Распознавание сигналов

2. Системная идентификация и аппроксимация функций

3. Решение оптимизационных задач

3. Прогнозирование динамики технологического процесса и всего технологического комплекса в целом

4. Адаптивное управление в технологическом комплексе

5. Экспертные системы и базы знаний САПР

6. Многофакторный анализ данных о проектируемом объекте

Встатье рассматриваются особенности применения нейронных сетей к решению задач, наиболее специфичных с точки зрения построения САПР АТК: к задачам системной идентификации и аппроксимационным задачам, задачам адаптивного управления, оптимизационные задачам.

Идентификация и аппроксимация

Нередко при построении математических моделей АТК возникает ситуация, когда часть соотношений, описывающих объект, по условиям моделирования не могут быть представлены аналитически. [1–3] В этом случае возникает необходимость синтеза идентификационной модели. Такая модель по построению может быть не адекватна внутренней структуре моделируемой системы, однако с требуемой точностью описывает её поведение с точки зрения входа-выхода.

Пусть X – вектор, компоненты которого соответствуют некоторым интересующим нас количественным параметрам системы, X0 – вектор количественных параметров внешних воздействий (вход). В этом случае выход системы описывается заранее не определённой функцией f: Y = f(X, X0), где Y – выходной вектор. Нашей задачей является идентификация системы, т.е. нахождение функционального отношения, алгоритма или набора правил в общей форме Z = C(X, X0), ставящему каждой паре векторов (X, X0) вектор Z так, что Z и Y считаются близкими в некоторой метрике, отражающей цели моделирования. Отношение Z = C(X, X0), воспроизводящее с указанной точностью функционирование системы f, называется информационной моделью системы f.

Нейронные сети применимы в идентификационном моделировании, поскольку в предельно обобщённом смысле нейронная сеть – это правило соответствия между входом и выходом некоторой системы. Основной разницей между нейронной сетью и прочими вычислительными системами является отсутствие необходимости программирования. Процесс программирования нейросетевой системы заменяется процессом обучения, в ходе которого происходит целевая адаптация синаптических связей (реже – структурная перестройка и изменение переходных функций нейронов).

Необходимость в применении нейронной сети в задаче идентификационного моделирования возникает, когда вид функции системы f неизвестен или же неизвестен алгоритм её вычисления. В ряде случаев не применима и непараметрическая статистика (причиной является недостаточная выборка входных данных, высокая зашумлённость, неполнота и противоречивость, слабая или неявная структурированность информации о

307

системе), и тогда нейросетевой алгоритм идентификации позволяет добиться требуемого результата. Заметим, что чувствительность нейронной сети оказывается избирательной в областях плотных скоплений данных, давая гладкую интерполяцию в остальных областях. [4]

В задачах идентификационного моделирования также применимы методы кластерного нейронного анализа, в частности самоорганизующиеся карты Кохонена [5,6], свёртывающие пространство входных векторов в меньший по мощности набор кластеров, объединяющих сходные вектора входа. Это позволяет уменьшить размерность пространства входных данных с сохранением его топологии. Подобные методы также применимы и для сжатия информации, поскольку при представлении кластеров их центроидами достигается высокая степень сжатия данных при сохранении структуры. [7] Кроме того, карта Кохонена, как и любой метод кластерного анализа, позволяет находить в исходной выборке параметров скрытые закономерности, что особенно ценно при анализе аномальных и катастрофических режимов в технологических процессах. [4]

Было показано [1], что формальное описание процессов в сложном АТК может быть подвергнуто кластеризации с последующим представлением выделенных кластеров-подсистем классическим методом (при помощи передаточных функций) или с помощью нейронных сетей. Заметим в связи с этим, что кластеризация даёт возможность настраивать нейронные сети различных участков модели индивидуально, на основании особенностей, имманентных только им одним, что должно повысить общую эффективность моделирования.

Из всего вышесказанного, а также из [8–11] становится понятно, что существует возможность аппроксимации непрерывных функций нескольких переменных при помощи нейронных сетей, представляющих собой суперпозиции простых функций одного переменного. Заметим, что определяемая с помощью нейронной сети функция может быть произвольной. Достаточными условиями являются набор соответствующих требований к структурности сети и нелинейность переходных функций нейронов. [7]

Оптимизация

Применение нейронных сетей для решения традиционных математических задач оптимизации выглядит весьма привлекательным за счёт предельно высокого уровня параллельности при обработке информации. Распараллеленность обработки информации позволяет успешно применять нейронные сети в комбинаторной оптимизации. Среди классических задач, решаемых с помощью нейронных сетей, можно в первую очередь выделить транспортно-ориентированные оптимизационные задачи (например, всё семейство задач коммивояжера) и задачи распределения ресурсов (целераспределение, задача о назначениях и др.).

Решение таких задач традиционными методами математического программирования, большинство из которых изначально ориентировано на вычислительную технику с последовательной архитектурой, нередко сопряжено с большими временными затратами, неприемлемыми для многих приложений. При соответствующей аппаратной поддержке нейросетевые алгоритмы позволяют значительно повысить скорость решения данного класса задач, сохраняя высокую точность результата. Так, для подобных задач было показано [12], что увеличение количества параллельно работающих процессоров позволяет обеспечить рост производительности почти пропорциональный числу задействованных процессоров.

В качестве нейросетевого инструмента комбинаторной оптимизации можно предложить сеть хопфилдовского типа, для которой было доказано уменьшение в

308

процессе динамики функции Ляпунова, роль которой исполняет энергетическая функция E=E(S), зависящая от вектора состояния сети S. [10,13]

Класс целевых функций, которые могут быть минимизированы сетью Хопфилда, достаточно широк, в него попадают все билинейные и квадратичные формы с симметричными матрицами. Одновременно с этим, целый ряд математических проблем может быть сформулирован в семантике оптимизационной задачи. В частности, можно назвать дифференциальные уравнения в вариационной постановке, а также задачи линейной алгебры и системы нелинейных алгебраических уравнений, где решение ищется в форме минимизации невязки.

Многие задачи оптимального размещения и планирования ресурсов, выбора маршрутов, специфические задачи САПР и иные, при внешней кажущейся простоте постановки, имеют решения, которые можно получить только полным перебором вариантов. Часто речь идёт о NP-полных задачах, число вариантов в которых быстро возрастает с увеличением числа структурных элементов. Если удаётся сформулировать такую задачу в терминах оптимизации функции Ляпунова, то нейронная сеть даёт весьма мощный инструмент поиска приближённого решения.

Адаптивное управление

Применение классических методов адаптивного управления в проектировании АТК не всегда оправдано. В частности, один из наиболее эффективных классических методов, теоретически отработанный в последнее время – концепция обобщённого настраиваемого объекта и прямого метода Ляпунова – имеет сильно ограниченную сферу применения для управления сложными процессами за счёт проблем с реализацией дифференцирующих звеньев очень высокого порядка и трудоёмкостью синтеза адаптивных регуляторов. [3] Вместе с тем, реализация процедуры адаптивного управления в сложных АТК необходима.

Использование нейросетевых алгоритмов адаптивной настройки позволяет устранить большую часть этих проблем. Для реализации дифференцирующих звеньев применима динамическая (рекуррентная) нейронная сеть типа перцептрона. [3] Синтез адаптивных регуляторов на основе нейронных сетей несколько затруднён в связи с проблемами устойчивости обучения сети [14], однако, тем не менее, даёт лучший результат, чем классический метод синтеза. Заметим, однако, что эти методы требуют создания сложных нейросетей с большим количеством элементов, что может приводить не только к увеличению времени обучения, но и к нарастанию ошибок обобщения. [4]

Заключение

В целом можно заключить, что рассмотренные нейросетевые алгоритмы обеспечивают хороший результат при применении к специфическим задачам САПР АТК, несмотря на то, что существует целый ряд проблем с конструированием нейронных сетей для конкретных задач (в частности, традиционная задача выбора числа слоёв и количества элементов в них [10]) .

309

Литература

1.Алексеев А.А., Кораблев Ю.А., Шаров К.С., Шестопалов М.Ю. Адаптивная Neuro- Fuzzy-классификация информации в технических системах //Тез. докл. Всероссийской НТК "Нейроинформатика-99", МИФИ, Москва, январь 1999 г.

2.Кораблев Ю.А., Шаров К.С., Шестопалов М.Ю. Построение математических моделей непрерывных технологических процессов на базе Neuro-Fuzzy-технологии. //Тез. докл. Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, СанктПетербург, июнь 2000 г.

3.Лютов А.Г., Платонова Д.Е. Интеллектуальное управление сложным технологическим процессом в условиях неопределенности. //Тез. докл. НТК "Аэрокосмические технологии и образование на рубеже веков", Рыбинск, РГАТА, 2002.

4.Нейроинформатика /Горбань А.Н., Дунин-Барковский В.Л., Кирдин А.Н. и др. – Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1998.

5.Kohonen T., Self-organized formation of topologically correct feature maps. //Biological Cybernetics, Vol. 43, 1982.

6.Kohonen T., Self-organizing maps. Springer, 1995.

7.Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. – Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1996.

8.Cybenko G. Approximation by superposition of a sigmoidal function. //Mathematics of Control, Signals, and Systems, vol.2, 1989.

9.Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators. //Neural Networks, vol.2, 1989.

10.Jain A.K., Jianchang Mao, Mohiuddin K.M. Artificial Neural Networks: A Tutorial. //Computer, vol.29, №3/1996.

11.Kochenov D.A., Rossiev D.A. Approximations of functions of C[A,B] class by neuralnet predictors (architectures and results). //AMSE Transaction, Scientific Siberian, vol. 6: Neurocomputing, 1993.

12.Борисов Ю., Кашкаров В., Сорокин С. Нейросетевые методы обработки информации и средства их программно-аппаратной поддержки. //Открытые системы,

№4/1997.

13.Терехов С.А. Типовые задачи для информационного моделирования с использованием нейронных сетей. – Снежинск, НИИТФ, 2000.

14.Лютов А.Г., Платонова Д.Е. Синтез нейросетевых алгоритмов параметрического управления беспоисковой самонастраивающейся системы с эталонной моделью. //Тез. докл. Международной электронной НТК "Интеллектуальные мехатронные станочные системы", УГАТУ, Уфа, октябрь-ноябрь 2002.

310

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА МНОГОШАГОВОЙ РЕДУКЦИИ РАЗМЕРНОСТИ

И.Б. Бондаренко, Ю.Ю. Гатчина

Решение проектно-конструкторских и научно-исследовательских задач с применением современных средств вычислительной техники позволяет сократить сроки разработки, повысить производительность оборудования и снизить затраты на производство. С одной стороны к современным САПР сложных технологических систем (СТС) предъявляются постоянно растущие требования: возможность мониторинга и управления в объектах промышленной автоматизации, дружественный объектно-ориентированный интерфейс “человек-машина”, сбор, обработка и хранение информации в базе данных (БД) реального времени с возможностью её обмена при межсистемных взаимодействиях и анимации, с другой стороны необходима высокая эффективность и оптимальное соотношение цены с качеством готового продукта. Для обеспечения баланса необходима тщательная проработка СТС на всех этапах её жизненного цикла, особенно на начальном этапе проектирования, который характеризуется наибольшей сложностью из-за многовариантности и многокритериальности функции глобального критерия оптимальности и широты применяемых методов оптимизации.

Глобальный критерий описывается:

Ф = (Ф1 ,Ф2 ,...,Фi ),

Фi = extr(Qi ( X )),

Qi ( X ) = Qi (x1 , x2 ,..., xn ),

где: xn - параметр оптимизируемой системы; n - размерность задачи.

Локальные критерии оптимальности Фi "свёртываются" одним из способов, в результате чего получаются различные формы представления глобального критерия:

m		m
Ф = ∑kiФi ;		Ф = ∏Фiki ;
i=1		i=1
Ф =	1	,
	m
	∑ki / Фi

i=1

где: i=1,...,m - номер локального критерия; ki - весовые коэффициенты, которые

определяются по результатам экспертной оценки важности локальных критериев. В результате операции “свертки” образуется средневзвешенное арифметическое представление, средневзвешенное геометрическое и средневзвешенное гармоническое, соответственно.

Размерные величины приводятся к безразмерной форме по следующим соотношениям [1]:

311

Фi

−Фiгр

Ф'

=

;

Ф'

=

Ф

,

i

i

i

Ф*

−Ф

Ф

р

i

iгр

iг

где:

Ф'i

- безразмерный уровень локального критерия;

Фi

- размерный уровень локального критерия;

Фiгр

- граничное значение критерия;

Ф*

- экстремальное значение критерия.

i

Для выбора комбинации форм представления локальных критериев использована чувствительность S по каждой свертке [2]:

	∆Ф		m
S =		, ∆X =	∑∆x2j ,
	∆X		j=1

X = (x1 , x2 ,..., xn ),

где в качестве х могут выступать: количество локальных критериев, весовые коэффициенты, уровни локальных критериев, уровни помехи и т.п.

Работа СТС осуществляется в реальном времени со значительным количеством удаленных объектов и измерительных датчиков, что накладывает временные ограничения на обработку информации и процессы оптимизации. Для исследования СТС с большой размерностью параметрического пространства необходимо использование математического аппарата методов глобальной оптимизации, одним из которых является метод многошаговой редукции размерности [3].

Данный метод применим для поиска глобального минимума многомерной функции Q(X), зависящей от небольшого числа переменных (менее 3). Необходимое условие поиска - определённость и непрерывность функции в n-мерной области D:

	min Q(X )
	X D	(1)
	X = (x1, x2 ,..., x n ),
	D ={X |ai ≤ xi ≤ bi, i =1,2,..., n}

Идея метода состоит в последовательном свертывании во вложенные друг в друга одномерные задачи глобальной минимизации:

min Q(X ) = min min ...		min Q(x1, x2 ,..., x n )	(2)
X D	a1 ≤x1 ≤b1 a2 ≤x 2 ≤b2	an ≤x n ≤bn

Это означает, что многомерная задача (1) сводится к одномерной задаче минимизации функции Q1(x1) на интервале a1,b1 . Затем переменная x1 фиксируется и решается

задача одномерной минимизации для x2 функции Q2 (x1, x2 ) и т.д. Характер спуска в

данном методе сильно зависит от порядка расположения координат в функции Q(X). Число испытаний данного алгоритма растёт экспоненциально с ростом числа

переменных n:

N = A n,

312

где А - число испытаний при одномерном поиске.

Всвязи с этим метод многошаговой редукции выгоднее применять при количестве переменных до 5. Дальнейший рост показателя n приводит к ощутимой задержке во времени поиска глобального минимума функции.

Всвою очередь, задача одномерного поиска глобального минимума функции решается при помощи следующего алгоритма.

Так как с практической точки зрения сохранение постоянного шага на всем отрезке поиска [a,b] является нецелесообразным из-за того что, во-первых, для сложных ТС, работающих в условиях непредсказуемых внешних возмущений, присуще свойство грубости, при котором малым изменениям параметров системы соответствуют небольшие изменения показателей качества ТП, а, во-вторых, параметры объекта обычно известны неточно и в процессе эксплуатации могут меняться в некоторых пределах, то осуществим перебор на неравномерной сетке узлов:

x k +1 = x k		+δk ,	(3)
i	i	i
δik	= max(εi ,e x ik ),

где k - номер узла сетки перебора; δ - шаг;

ei - постоянные коэффициенты, ориентированные на конкретную задачу;

e - точность определения глобального минимума.

Для данного алгоритма поиска присущи следующие достоинства. Во-первых, алгоритм исключает вероятность зацикливания у нулевой точки области допустимого изменения i-го параметра, а, во-вторых, участки с малыми абсолютными значениями xi ускоренно

проходятся в линейном, а большими - в логарифмическом масштабе.

В испытаниях алгоритма для трехмерного случая оптимум функции достигается за сотни итераций. Не смотря на простоту метода и небольшое число входных данных, с ростом размерности экспоненциально растут и общие затраты на поиск экстремума. Поэтому, при большом числе переменных m метод теряет эффективность:

m
N = ∏ni ,	(4)

i=1

Таким образом, метод многошаговой редукции размерности с использованием неравномерной сетки перебора является простым и надежным при глобальной оптимизации с размерностью задач не более 10.

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что описанные методы позволяют принимать оптимальные проектные решения, исходя из задач и целей проектирования ТП. Каждый метод в отдельности охватывает свою область исследования глобального критерия оптимальности, поэтому их удобно объединить в пакет прикладных программ, с дальнейшей интеграцией в систему САПР СТС.

Литература:

1.Лысенко Э.В. Проектирование автоматизированных систем управления технологическими процессами. - М. : Радио и связь, 1987.

2.Кофанов Ю.Н. Применение функций чувствительности для управления надежностью радиоэлектронной аппаратуры.- Киев: Общество “Знание” УССР, 1981.-/ Автоматика и электроника.

3.Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

313