- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Метод начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил
- •Потенциальная энергия стержня.
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •Определение размеров поперечного сечения
- •Определение грузоподъёмности
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
- •Оглавление
5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
Известны многие попытки создания гипотез усталостного разрушения в сложном напряжённом состоянии. Все они сводятся к обобщению известных гипотез прочности и пластичности на случай цикличных напряжений. Для наиболее часто встречающегося на практике случая изгиба с кручением общепринятой является эмпирическая формула
, (5.27)
где nR – коэффициент запаса усталостной прочности;
nσ – коэффициент запаса по нормальным напряжениям, найденный по формуле (5.23) в предположении, что τ = 0;
nτ – коэффициент запаса по касательным напряжениям, найденный по формуле (5.24) в предположении, что σ = 0.
Формулу (5.27) легко преобразовать в условие усталостной прочности
. (5.28)
Условие статической прочности может быть записано в соответствии с III-й теорией прочности в виде
. (5.29)
Ориентировочные значения величин допускаемого значения коэффициента запаса прочности [n] приведены в табл.5.3.
Таблица 5.3
Факторы, влияющие на запас прочности |
[n] |
Для расчёта на статическую прочность по пределу текучести Весьма пластичный материал σТ/σПЧ = 0,45 0,55 Пластичный материал σТ/σПЧ = 0,55 0,70 Малопластичный материал σТ/σПЧ = 0,70 0,90 Хрупкий материал |
1,2 1,5 1,4 1,8 1,7 2,2 2,0 3,0 |
Для расчёта на усталостную прочность по пределу выносливости При повышенной точности расчёта, однородном материале, широком использовании экспериментальных данных, высоком качестве технологии При недостаточном объёме экспериментальных данных о нагрузках и характеристиках прочности, при ограниченном числе натурных усталостных испытаний, среднем уровне однородности материала, технологии производства и дефектоскопии При малом объёме и отсутствии экспериментальной информации о нагрузках и прочности, при невысоком уровне технологии производства, пониженной однородности материала (литые и сварные детали значительных размеров) |
1,3 1,5
1,5 2,0
2,0 3,0 |
Пример. Проверить прочность вала с кольцевой выточкой, подвергающегося изгибу с кручением (рис.5.13).
Рис.5.13
Дано: D = 110 мм, d = 90 мм, радиус кольцевой выточки r = 10 мм; поверхность вала шлифованная. Материал – углеродистая сталь с характеристиками: σПЧ = 50 кН/см2; σТ = 30 кН/см2; σ-1 = 22 кН/см2; τПЧ = 26 кН/см2; τТ = 16 кН/см2; τ-1 = 12 кН/см2. Действующие переменные со времени моменты равны:
Изгибающие Mmax = 5 кН∙м; Mmin = – 1 кН∙м;
Крутящие Mк max = 2 кН∙м; Mк min = – 0,5 кН∙м.
Решение. Осевой и полярный моменты сопротивления
W = 0,1 ∙ d3 = 0,1 ∙ 93 = 72,9 см3;
Wp = 0,2 ∙ d3 = 2W = 145,8 см3.
Определяем максимальные и минимальные номинальные напряжения в опасном сечении вала:
;
;
;
.
Определяем среднее напряжение и амплитуду циклов
;
;
; .
Теоретические коэффициенты концентрации напряжений определяем по графикам, приведённым в справочнике И.А. Биргер, Б.Ф. Шор, Г.Б. Иосилевич «Расчёт на прочность деталей машин» - М.: Машиностроение, 1979.-702 с. Графики показаны на рис.5.14.
а б
Рис. 5.14
При и находим ασ = 2,0 и ατ = 1,58. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определяем по формуле (5.15), принимая для среднеуглеродистой стали q = 0,6:
Kσ = 1 + q (ασ – 1) = 1 +0,6 (2,0 –1) = 1,6:
Kσ = 1 + q (ατ – 1) = 1 +0,6 (1,58 –1) = 1,35.
Величину масштабного коэффициента находим по табл.5.1. Для d = 90 мм и σПЧ = 50 кН/см2
Kdσ = Kdτ = 0,7.
Коэффициент качества поверхности находим по кривой 2 на рис.5.11:
KF = 0,95.
Поверхностное упрочнение не применяется, поэтому
Кυ = 1,0.
Далее по формуле (5.19) подсчитываем коэффициент снижения предела выносливости детали:
при изгибе ;
при кручении .
Вычисляем коэффициент запаса. Материал вала в опасном сечении испытывает плоское напряжённое состояние. Поэтому сначала находим частичные коэффициенты запаса по формулам (5.23) и (5.24). Значения ψσ и ψτ принимаем по приведённым в п.5.6 рекомендациям: ψσ = 0,1; ψτ = 0,05.
;
.
Общий коэффициент запаса по усталостной прочности вычисляем по формуле (5.28)
.
Коэффициент запаса по статической прочности определяем по формуле (5.29)
.
Получим nR < n, т.е. коэффициент запаса, равный 2,11, лимитируется усталостной прочностью. Если сравнить его с допускаемыми значениями, приведёнными в табл.5.3, то можно сделать вывод, что прочность вала обеспечена.
Заканчивая главу о прочности при циклических напряжениях, необходимо отметить следующее. Действующие нагрузки и напряжения, возникающие в деталях машин, в большинстве случаев представляют собой случайные функции времени, а характеристики сопротивления усталостности детали (срок службы, предел выносливости) – случайные величины, которым свойственно существенное рассеивание. Поэтому уточнённые методы расчёта усталостной прочности базируются на теории вероятности и математической статистике. Подробно изложены в книге С.В. Серенсена, В.П. Когаева и Р.М. Шнейдеровича «Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность»: Руководство и справочное пособие. – М.: Машиностроение, 1975.