Книга по вейвлетам / glava21

Доказательство формулы (2.2.13) вытекает из (2.2.11). Действительно,

	так как преобразование Фурье			f (t) g(t) имеет вид				1	(F (−ω) G(ω)), то
								2π
	∞	f (t)g(t)e− jω1t			1	∞	F (−ω )G(ω1 −ω)dω ,
	∫		dt =			∫
					2π
	−∞					−∞

откуда при ω1 = 0 получим (2.2.13).

Пример 2.3.

Найти преобразование Фурье функции рис. 2.1а

В соответствии с (2.2.1б) имеем

	πα		2a		eπ ωα − e−π ωα		sinπωα
	F(ω ) = a ∫ e	− jω t dt =				= 2παa		.
			ω		2 j
	−πα						πωα

Сравнивая этот результат с примером

Рис .2.3.

Непрерывный спектр прямоуголь- ного импульса (α = 0,2)

(2.1), видим, что с точностью до постоянного множителя при ω = k они совпадают, т.е. непрерывный спектр Фурье есть огибающая дискретного спектра (см.

рис. 2.3). Этот вывод носит общий харак-

тер.

Интересен другой результат. Пусть спектр Фурье имеет вид прямоугольного импульса:

F(ω ) = 1 при ω [− Ωm , Ωm ].

Тогда

f(t) = 2Ωm sin Ωmt .

Ωmt

68

2.3. Дискретизация

Дискретизация – представление непрерывной функции f (t) ее значе- ниями в отдельные, чаще всего равноотстоящие моменты времени t = n∆t

f (t)t = n∆t = f [n].

Значения функции f [n] в моменты времени t = n∆t называются от-

счетами. В реальных системах процесс дискретизации непрерывного сиг-

нала во времени осуществляется на входе цифровой системы обработки путем кратковременной подачи сигнала в устройство хранения (чаще всего

– конденсатор небольшой емкости), как показано на рис. 2.4.

Ключ К1 замыкается в моменты времени t = n∆t ; в этот же момент времени ключ К2 размыкается, давая возможность конденсатору С зарядиться до напряжения, равного величине сигнала

всоответствующий момент времени.

Рис. 2.4.	Далее ключ К2 замыкается на время ∆t , а
Дискретизация непрерывного	ключ К1 размыкается.
сигнала
	Такой	процесс	дискретизации,

называемый иногда временным квантованием,. математически может быть

выражен с помощью дельта-функции Дирака.

2.3.1.Дельта-функция Дирака

В1926 году английский физик Дирак ввел в квантовой механике сим-

вол δ , названный им дельта-функцией, которая явилась первой система-

тически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения

69

δ -функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, по-

мещенного в начало координат. Если этот заряд имеет величину e , то его плотность ρo (t) = e δ (t). Отсюда следует, что функция δ (t) обладает сле-

дующими свойствами:

δ (t) = 0, при t ≠ 0,
∞, при t = 0,					(2.3.1)
∞
∫δ (t)dt = 1.
−∞
Дельта-функция может быть получена через предел
1		t
δ (t) = lim		Φ		,	(2.3.2)
ε→0 ε		ε

где Φ (t) – некоторый импульс, такой, что

	1	∞		t	dt =
		∫	Φ
	ε
		−∞	ε

∞

∫Φ (t)dt = 1.

−∞

Примерами функций Φ (t) являются рассмотренные во Введении функции Лоренца и Гаусса, которые в нормированном виде можно пред-

ставить как

Φ (t) =

1

1

−

кривая Лоренца

π 1 + t2

и

Φ (t) =

1

e−t2

−

кривая Гаусса .

π

Графики этих функций показаны на рис. В.4.

Рассмотрим функцию

Φ

t

=

1

1

,

πε

ε

t 2

1

+

ε

(2.3.3а)

(2.3.3б)

.интеграл в бесконечных пределах от которой равен единице

70

При достаточно малых ε величина

t

2

>>1 , поэтому

ε

Φ

t

≈

1

1

=

ε

,

ε

ε

t 2

πt2

π

ε

т.е. неограниченно убывает при уменьшении ε

и t ≠ 0 . При t = 0 и ε ≈ 0

функция

1

1

= 1, а функция Φ

t

≈

1

неограниченно возрастает

π

t 2

ε

ε

1

+

ε

при ε → 0. Из свойств (2.3.1) δ -функции следует, что для любой непре-

рывной функции f (t)
∞
∫ f (t)δ (t) dt = f (0)							(2.3.4а)
−∞
и
∞
∫ f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 ).							(2.3.4б)
−∞
Отметим еще, что
δ (at) =			1			δ (t) (a = const ≠ 0)	(2.3.4в)
			a
и
f (t)δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 ).							(2.3.4г)
Последнее соотношение вытекает из равенства δ (t − t0 ) = 0							при t ≠ t0 . Па-
ра Фурье-преобразований δ -функции имеет вид:
						δ (t) ↔ 1	(2.3.5а)
и
δ (t − t0 ) ↔ e− jω t0 .							(2.3.5б)

Или в силу свойства симметрии Фурье-преобразования (2.2.3 ):

71

	e+ jω0	↔ 2πδˆ(ω −ω0 ),	(2.3.6а)
	e− jω0	↔ 2πδˆ(ω + ω0 ).	(2.3.6б)
Напомним, что дискретным аналогом δ -функции Дирака является
символ Кронекера δ	[n]= 1, при n = 0,
	0, при n ≠ 0.

2.3.2 Отсчеты непрерывной функции

Свертка с δ -функцией любой функции дает значение этой функции в дискретной точке – ее отсчет в этой точке. Действительно, в силу свойст-

ва (2.3.4) имеем:

	∞
	∫ f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 ).				(2.3.7)
	−∞
Совокупность отсчетов непрерывной функции f (t)					получается при
использовании гребневой функции Дирака:
	∞
	d∆ (t) = ∑δ (t − n∆t ).				(2.3.8)
	n=−∞
Свертка с	f (t) дает:
∞	∞
∫ f (τ )d (t −τ )dτ = ∑ f (t − n∆t		) = f0 (t),			(2.3.9)
−∞	n=−∞
где fo (t)-периодическая функция с периодом ∆t , так как
	∞	∞	(t − i∆t	) = f0 (t).
fo (t + m∆t ) = ∑ f (t − (n − m)∆t		) = ∑ f
	n=−∞	i=−∞

72

Предположим,

что

f (t) достаточно

гладкая и

быстро

затухающая

функция, такая что ряд (2.3.9)

сходится единственно к f0 (t). Мы можем

тогда разложить f0 (t) в сходящийся ряд Фурье (см. (2.1.1)):

o

∞

∆

∆t / 2

o

∑

∫

f

(t) =

1

f

(τ )e− j2π kτ

/ ∆t dτ e j2π k t

/ ∆t .

(2.3.10)

k =−∞

t −∆t / 2

Используя (2.3.9), получим, что коэффициенты ряда Фурье в этом

разложении имеют вид:

∆t / 2			∆t /2	∞
∫ fo	(τ )e− j2π kτ / ∆t dτ = ∫			∑ f		(t − n∆t )e− j2πkt / ∆t dt .
−∆t / 2			−∆t /2 n=−∞
Произведя замену τ = t − n∆ учитывая,						что e− j2π kn = 1, получим
			t
		∞ (2n+1)∆t / 2
	∑		∫ f (τ )e− j2π kτ / ∆t dτ =
	n=−∞ (2n−1)∆t / 2						(2.3.11)
		∞
			f (τ )e− j2π kτ / ∆ t dτ			2πk
		∫
	=			= F			.
						∆
		−∞				t

2.3.3. Формула суммирования Пуассона

Для непрерывной и ограниченной функции

f (t) на основании (2.3.9),

(2.3.10) и (2.3.11), учитывая, что

2π k

– коэффициенты Фурье перио-

F

∆t

дической функции

f0 (t), получим в соответствии с (2.1.1а) формулу сум-

мирования Пуассона:

∞

1

∞

2πk

0

∑

t

∑

∆

∆

f

(t) =

f

(t − n∆ ) =

t

F

t

e j2π kt / ∆t .

(2.3.12)

n=−∞

k=−∞

В частности, при ∆t

= 1 в точке t = 0

73

∞

∑ f [n] =

n=−∞

∞

∑F (2πk).

k=−∞

Из (2.3.12) с учетом (2.3.5) для гребневой δ -функции получим

	∞		1	∞
	∑δ (n∆t	) =		∑e j2π kt / ∆t .	(2.3.13)
			∆
	n=−∞		t k =−∞

Используя формулу суммирования Пуассона, получим еще несколько интересных соотношений. Покажем, что

∞

x(t) = ∑g(t) f (t − n∆t) ↔ X (ω) =

			n=−∞
		1	∞		2πk		ω −	2πk
	=		∑	F		G			.
		∆			∆			∆
		t k=−∞			t			t

Для этого умножим (2.3.12) слева и справа на g(t)

разование Фурье:

X (ω) = ∆t

∞

∞

(t)e jt(ω−2πk / ∆t )dt =

∑ F ∆t

∫ g

1

2πk

k=−∞

−∞

1

∞

2πk

2πk

∑

ω −

∆

∆

∆

=

F

G

.

t k =−∞

t

t

Пусть g(t) ≡ 1 и f (t) = δ (t). Тогда по (2.3.6б)

G(ω ) = 2πδˆ(ω ),

а по (2.3.5б)

(2.3.14)

и выполним преоб-

(2.3.15)

F(ω ) = 1.

и из формулы (2.3.14) получаем еще одно важное соотношение:

	∆		∞	t	2π	∞		2πk
			∑		∆	∑		∆
d		(t) =		δ (t − n∆ ) =	t		δ ω −	t	.	(2.3.16)
			n=−∞			k=−∞

74

2.3.4. Теорема отсчетов

Прежде чем сформулировать теорему отсчетов, используя (2.3.4г), по- лучим связь между спектрами дискретизированного колебания f∆ (t)и его непрерывного прототипа – функции f (t):

∞	)δ (t − n∆t
f∆ (t) = f (t)d∆ (t) = ∑f (n∆t		).	(2.3.17)

n=−∞

Всоответствии с теоремой о модуляции (2.2.11) и соотношением

(2.3.16) получим из левой части (2.3.17)

1

∞

2πk

1

∞

2πk

∆

∑

∑

∆

∆

∆

∆

F (ω ) = F(ω)

δˆ

ω −

=

F

ω −

.

(2.3.18)

t

k=−∞

t

t

k =−∞

t

Выполняя Фурье-преобразование правой части (2.3.17) с учетом

(2.3.5б), получим

∞

F∆ (ω )

= ∑f (n∆t )e

− jn∆tω

.

(2.3.19)

n=−∞

Из (2.3.18) следует, что спектр дискретизированного колебания f∆ (t)

является периодической функцией частоты ω с периодом∆

=

2π

.

ω

∆t

Предположим, что спектр непрерывного колебания

F(ω)

занимает

полосу от 0

до Ωm , т.е. F(ω ) ≠ 0 при

ω

[0, Ωm ].

Тогда спектр дискретизированного колебания можно изобразить так,

как показано на рис. 2.5. Причем, при ∆ω = 2π < 2Ωm , будет иметь место

∆t

наложение ветвей (рис. 2.5а) периодически продолженной функции F (ω ).

Эффект наложения приводит к искажению исходного сигнала при дискретизации.

75

Рис. 2.5.

Спектр дискретизированного

колебания

а) ∆ω < 2Ωm ,

б) ∆ω = 2Ωm

и 0 при других значениях ω .

Тогда получим

Таким образом, частота дискрети-

зации должна быть больше частоты са- мого высокочастотного сигнала Ωm и,

как следует из рис. 2.5б, чтобы избежать наложения – больше, чем в два раза. То-

гда будет выполняться соотношение:

∆	=	2π	= Ω	d	≥ 2Ω	m	(2.3.20)
ω		∆t

Теорема отсчетов утверждает сле-

дующее:

Если функция f (t) не содержит

частот выше Ωm , то она полностью

определяется последовательностью своих значений в моменты времени, от-

стоящие друг от друга на ∆ =		π	.
	t	Ωm
Для	доказательства	умножим

(2.3.18) слева и справа на прямоуголь- ную функцию: PΩm (ω) = 1 при ω ≤ Ωm

F	(ω ) P	(ω) =	1	F (ω ).
∆	Ωm		∆t

К обеим частям последнего выражения применим обратное преобра-

зование Фурье (2.2.1a), в результате, с учетом теоремы о свертке (2.2.10) и

Примера 2.3, получим

f∆ (t) sin Ωmt = f (t).

Ωmt

76

Подставляя вместо f∆ (t) его выражение из (2.3.17) и выполняя опера-

	цию свертки с δ -функцией, будем иметь
	∞	sinΩ m	(t − n∆t )
	f (t) = ∑ f (n∆t )				.	(2.3.21)
		Ω m (t − n∆t )
	n=−∞

Из последнего выражения следует, что непрерывная функция может

быть полностью восстановлена по своим отсчетам, взятым с интервалом

∆t ≥	π		sin Ωm	(t − n∆t)
		, с помощью функции				, называемой идеальным ин-
			Ωm (t − n∆t)
	Ωm

терполятором Котельникова (в зарубежной литературе – интерполятор Шеннона).

Интерполяционная формула (2.3.21) имеет, прежде всего, теоретиче-

ский смысл, так как она применяется только тогда, когда по отcчетам не-

обходимо восстановить аналоговый сигнал. Для этого достаточно отсчеты f (n∆t ) пропустить через идеальный фильтр нижних частот с частотой сре-

за ωc = Ωm . Однако, на практике такой фильтр реализовать невозможно,

так же как применить непосредственно формулу (2.3.21). Для этого необ-

ходимо знать все отсчеты сигнала на значительном временном интервале.

Простейшим способом восстановления сигнала является применение либо аналогового фильтра нижних частот с большой крутизной фронта частот-

ной характеристики, либо метода линейной интерполяции (соединения от-

счетных точек прямой линией) с последующим применением низкочастот-

ной фильтрации с целью сглаживания углов интерполяционной кривой.

77