Книга по вейвлетам / glava3

1

∞

[k]

π 2i +1

∑bi

∫e jk 2−i ω e jωt dω =

2π

k =−∞

−π 2i +1

∞

π 2i +1

=

1

∑bi [k]

∫e jω (t+k 2−i )dω =

2π k =−∞

−π 2i +1

1

∞

π 2i +1

jω (t+k 2−i )

(jω (t + k2−i ))=

=

∑bi [k]

∫

e(

−i )d

2π

+ k2

k =−∞

−π 2i +n

j t

2π 2i+1

∞

e j(t+k 2

−i

)π 2i+1

− e− j (t+k 2

−i

)π 2

i +1

∑bi [k]

=

(

−i ) i+1

=

2π

2π

k =−∞

j t + k2

2

∞

sinπ (2i+1 t + k ).

= ∑bi [k

]2i+1

k =−∞

π

(2i+1 t + k )

Аналогично для второго интеграла получим:

1

π 2i

∞

[k] e jk 2−i ω e jωt dω =

∑

b

2π ∫

i

−π 2i k =−∞

sin π (2

t + k )

∞

[k] 2i

i

= ∑bi

,

π (2i t + k )

k =−∞

Тогда из (3.5.11):

∞

[k](2i+1ϕ(2i+1 t + k )− 2i ϕ (2i t + k ))

∞

[k ]Ψik

fi (t ) = ∑bi

= ∑bi

(t) ,

k =−∞

k =−∞

где функция

ϕ(x) =

sinπx

= sinc(x)

(3.5.12)

πx

показана на рис. (3.15).

Сумма элементарных сигналов fi (t) равна

M −1	(t) = ∑ai [k ]ψ ik (t) ,
f (t) = ∑ fi		(3.5.13)
i=0	i,k

148

Рис. 3.15.

S inc -функция

Рис 3.16.

S inc -вейвлет

i

Множитель 2 2 при

a	[k] = 2i / 2 b [k],
i		i
где вейвлет
ψ ik (t ) = 2i / 2ψ (2i t − k )		(3.5.14)

и(см. рис. 3.16):

ψ(x) = 2ϕ(2x)−ϕ(x). (3.5.15)

Выражение (3.5.13) является представлением функции f (t) в ба-

зисе вейвлет. В рассматриваемом ча-

стном случае идеальной полосовой фильтрации вейвлетом является

функция (3.5.14), образованная из материнской функции ψ (x) по

(3.5.15) с учетом (3.5.12). Такой

вейвлет называется sinc -вейвлетом по имени функции (3.5.12), которая его образует, а функция (3.5.12) по-

лучила название масштабной функ-

ции.

ψ ik (t) необходим для сохранения нормы ψik (t )

вне зависимости от величины масштаба, так как:

∞

∞

ψ ik (t)

= 2i ∫

ψ (2i t − k )

2 dt = ∫

ψ (x)

2 dx =

ψ (x)

.

−∞

−∞

Покажем, что в рассматриваемом частном случае b [k] = 2−i f

i

(2−i k ),

i

т.е. определяется отсчетами функции

fi (t ) при t = 2−i k .

Рассмотрим интеграл Фурье (2.2.1а) при дискретных значениях t k∆t

149

функции Fi (ω ), заданной на интервале ω < π 2i .

Имеем, с учетом (3.5.10б):

			π 2i
fi (k∆t ) = ∫ Fi (ω ) e jω k∆t dω =
			−π 2i					(3.5.16)
			π 2i
	1
= 2i			∫ Fi (ω ) e jωk∆t dω = 2i bik .
	2π 2	i
			−π 2	i
Последнее равенство справедливо при ∆ = 2−i								и вещественных f (t).
							t
Следовательно,
			b = 2−i		f	i	(2−i k ).
				ik

Выполнив преобразование Фурье выражения (3.5.14), можно видеть,

что спектр Фурье sinc -вейвлета представляет собой идеальный полосовой

фильтр, в общем случае занимающий полосу частот от 2π 2i до 2π 2i+1 .

Вейвлет Хаара. Разобьем теперь временную ось на интервалы, как показано на рис. 3.17 и определим на единичном интервале функцию

		1,	0 < t <			1	;
						2
				1
	ψ (t) = −1,				≤ t < 1;			(3.5.17)
			2
						случаях .
	0, в других

Эта функция является материнским вейвлетом, так как она удовлетво- ряет условию (3.2.2). Система сдвигов таких функций ψ (t − n) образует ор-

тонормальный базис, так как их взаимная энергия (В.5) равна нулю при

n ≠ 0 и равна единице при n = 0 :

∞

∫ ψ (t) 2 dt = 1.

−∞

Преобразование Фурье (2.2.1б) вейвлета Хаара имеет вид

150

Рис. 3.17.

Функция Хаара. а) вейвлет ψ (t);

б) спектр Фурье амплитуды

ψ (ω ) = je− j	ω	(sinω	)
	2	4		(3.5.18)
		ω
		4
и показано на рис. 3.17б.

Функции Хаара, также как sin c -вейвлет, могут быть получены с по-

мощью масштабной функции

Рис. 3.18.

Формирование вейвлета Хаара с помощью масштабных функций

рис. 3.17,а и 3.17,б).

ψ (t ) = 1, 0 ≤ t < 1;	(3.5.19)
0, в других случаях .

что иллюстрируется на рис. 3.18.

Из приведенных примеров следует ряд интересных выводов:

1. Представление вейвлет-функции в виде прямоугольников в любой из областей

(частотной или временной) ведет к беско-

нечному расширению в противоположной

области (сравните рис. 3.14 и 3.16;

Следовательно, для того, чтобы функции вейвлет были локализованы одновременно во временной и частотной областях, они должны убывать с ростом аргумента, по крайней мере, по закону обратной пропорционально-

151

сти (см. (3.2.1)).

2. Вейвлеты ψ (t), спектры Фурье которых представляют собой поло- совые фильтры, могут быть выражены через масштабные функции ϕ(t),

спектры Фурье которых представляют собой фильтры нижних частот (см.

формулы (3.5.15) и (3.5.19)).

3. Базисные функции для DWT могут быть получены из одной мате-

ринской функции путем ее масштабирования и сдвига (см. формулы

(3.5.14) и (3.5.15)).

4. Любой сигнал f (t) из L2 может быть представлен своим вейвлет- разложением (3.5.13), если число компонентов fi (t ) таково, что они зани-

мают полосу частот большую, чем полоса сигнала.

Литература

1. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи

математических наук. 1998. V. 53. № 6. С.9-13.

2.Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд.

СПбГТУ, 1999. 131 с.

3. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-

преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 203 с.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры приме-

нения // УФН. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

5. Martin Vatterli, Jelena Kovačevic. Wavelets and Subband Coding. Pren-

tice Hall, New Jersey, 1995.

152