26. Векторний добуток двох векторів.

Векторним добутком двох векторів   і   називається вектор  , який задовольняє таким умовам:

1)     Довжина вектора   дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах   і  , тобто

   (37).

2) Вектор   перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора  , і до вектора  :

   та       

3) Вектори  ,  ,  , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Для векторного добутку   вектора   на вектор   вводиться позначення:

    або         

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

     якщо         

Якщо вектори-множники колінеарні, то   і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

  

Закон комутативності для векторного добутку   не виконується, або точніше вектор   має напрям, протилежний до  :

     

Властивість сполучності відносно скалярного множника зберігається:

   

Властивість розподільності для векторного добутку також зберігається:

     

Якщо векторний добуток двох векторів записати у координатній формі, то маємо:

   (45).

Якщо   є вектор сили, прикладеної до деякої точки В, а вектор  , спрямований з точки А в точку В, то векторний добуток   буде моментом   сили   відносно точки А.

27. Мішаний добуток трьох векторів.

Нехай задано вектори а(а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃) і с (с₁; с₂; с₃).

М ішаним або скалярновекторним добутком трьох векторів a, b, c називається дійсне число, яке дорівнює векторному добутку векторів а і b скалярно протилежному на вектор с.

[a*b]*c = a₁ a₂ a₃

b₁ b₂ b₃

c₁ c₂ c₃

28.Розклад вектора за базисом.

Означення 8. Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (7) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів .

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням 8 звідси випливає, що вектори лінійно залежні.

29. Функція. Область визначення та множина значень.

Функцією називають залежність або відповідність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х із деякої множини відповідає значення змінної у із другої множини і лише одне.

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у – залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна х. З'ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.

1.    Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.

2.    Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.

3.    Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значен

Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна у, якщо х належить області визначення. Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x)     Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)

Функцію можна задавати:

• аналітично (коли функція задається формулами);

• табличним способом – при цьому в таблиці надаються значення змінної х і відповідні їм значення у;

• описовим способом – коли функція задається словесним описом;

• графічно – коли функція задається її графіком.

Елементарні функції:

1. Пряма пропорційність ,

 - число. Графік - пряма, що проходить через початок координат під кутом до осі абсцисс

2. Лінійна функція , ,   - числа. Графік - пряма, що перетинає вісь абсцис у точці

, ординат .

3. Обернена пропорційність

Графік гіпербола.

4. Квадратична функція ,  (   ),  ,   - числа.

Графік парабола.

5. Степенева функція .

Якщо   - натуральне і парне, то графік симетричний відносно осі OY; натуральне і непарне - відносно початку координат; від'ємне і непарне - гіпербола в 1 і 3-й координатних чвертях; від'ємне і парне - гіпербола в 1 і 4-й координатних чвертях.

30.Парність та непарність функцій. Властивості графіків парної та непарної функцій.  1) Нехай функція = і аргумент х змінюється від значення х1 до значення х2. Різницю між цими значеннями аргументу називають до значення . Різницю між цими значеннями аргументу називають приростом аргументу і позначають  . При маємо 

Різницю функцій, яка викликана зміною аргументу називається приростом функції і позначають  Означення 1 Якщо нескінчено ламану приросту аргументу в точці відповідає нескінчено малий приріст функції , то визначена в точці та її околі функція називається непарною в точці . Означення 2 Функцію називають непарною в точці , якщо існує при та в деякому околі в точці . 2) Існує скінчена границя  3) Функція повинна дорівнювати функції Незалежно від способу прямування , тобто лівостороння границя .