Побудова моделі корисності страхового контракту
Договір страхування ‑ це письмова угода між страхувальником і страховиком, згідно з якою страховик бере на себе зобов'язання у разі настання страхового випадку здійснити страхову виплату страхувальнику або іншій особі, визначеній у договорі страхування страхувальником, на користь якої укладено договір страхування (подати допомогу, виконати послугу тощо), а страхувальник зобов'язується сплачувати страхові платежі у визначені строки та виконувати
Розглянемо модель страхування. Нехай очікуване значення цільової функції страхувальника має вигляд:
(1)
де
Н
- дохід
від господарської діяльності
страхувальника, с
- його
затрати на цю діяльність,
-
затрати на проведення попереджувальних
заходів, r
- страховий
внесок, h
-
величина страхової виплати, р
‑ ймовірність
настання страхового випадку, ξ
-
коефіцієнт, що відображає відношення
страхувальника до ризику, Q
- втрати,
при настанні страхового випадку.
Нехай
очікуване значення цільової функції
страховика
має вигляд: ЕФ
=r-ph,
а
страховий тариф обчислюється як сума
нетто-ставки (рівної в силу принципу
еквівалентності - ймовірності настання
страхового випадку
p,)
і надбавки до нетто-ставки, яку ми
позначимо
(нагадаємо, що надбавка до нетто-ставки
включає ризикову надбавку, комерційну
надбавку і попереджувальну надбавку),
тобто
(2)
Умова вигідності страхування для страхувальника має вигляд:
(3)
для страховика:
(4)
умова «морального ризику» (відображає неспонукання страхувальника до заінтересованості в настанні страхового випадку):
(5)
Об'єднавши умови (2) - (4), одержимо
(6)
Тож, умова (6) означає, що комерційна ефективність страхування з точки зору страховика обмежена відношенням страхувальника до ризику. Чим вища ймовірність настання страхового випадку і чим більше страхувальник несхильний до ризику, тим більш вигідне страхування для страховика.
Нехай має місце повна компенсація збитку, тобто (5) виконується як рівність. Тоді справедливо:
(7)
(8)
Із
(7)-(8)
слідує,
що величина страхового внеску росте із
збільшенням ймовірності настання
страхового випадку, втрат і надбавки
до нетто-ставки. В той же час, розмір
страхової виплати росте з ростом втрат,
і зменшується з ростом коефіцієнту
і не залежить від ймовірності настання
страхового випадку і надбавки до
нетто-ставки (що обумовлено введеним
вище припущенням щодо повної компенсації
збитку).
Підставляючи вирази (7) і (8) в цільову функцію страхувальника і страховика і позначаючи g = Н – с - v, одержимо:
(9)
(10)
Із (9)-(10) видно, що корисність для страхувальника зменшується з збільшенням втрат, ймовірності настання страхового випадку і надбавки до нетто-ставки, а очікувана корисність страховика не залежить від ймовірності настання страхового випадку (що пояснюється тим. що він не схильний до ризику) і збільшується із збільшенням втрат і надбавки до нетто-ставки.
Корисність
страхування для страховика оцінюється
величиною ЕФ,
так
як при відсутності страхового контракту
його корисність рівна нулю. Корисність
страхування для страхувальника може
бути оцінена різницею
між його корисністю у випадку укладання
страхового контракту і у випадку його
відсутності:
Сума
(ЕФ
+
).
яку
ми позначили
розглядається
як «міра» взаємокорисності страхового
контракту. За величиною k=
,
яку
обчислюють для кожного контракту ми
можемо зробити висновок про те, який із
контрактів є оптимальним для страховика
і страхувальника.
Числовий приклад
Розглянемо економічну постановку задачі. В нашому прикладі розглядається страхова компанія (страховик) та декілька осіб (страхувальників).
Кожен із страхувальників займається певним видом господарської діяльності від якої він отримує певні прибутки чи несе певні затрати на цю діяльність. Тобто для кожного з них є заданими наступні величини:
Н - дохід від господарської діяльності
с - затрати на проведення господарської діяльності
v - затрати на проведення попереджувальних заходів
р - ймовірність настання страхового випадку
Q - витрати при настанні страхового випадку
- відношення до ризику,
а для страховика є відомою:
-
величина надбавки до нетто-ставки.
значення яких приведено в таблиці
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
VIII |
IX |
X |
H |
1000 |
2000 |
1800 |
1400 |
1920 |
2010 |
1670 |
1900 |
1700 |
1820 |
c |
200 |
150 |
500 |
800 |
630 |
360 |
750 |
700 |
300 |
270 |
v |
100 |
120 |
100 |
300 |
220 |
125 |
330 |
230 |
140 |
310 |
p |
0,15 |
0,17 |
0,13 |
0,24 |
0,44 |
0,21 |
0,5 |
0,32 |
0,2 |
0,17 |
Q |
400 |
410 |
210 |
310 |
280 |
190 |
270 |
370 |
200 |
390 |
|
0,8 |
0,9 |
0,4 |
0,7 |
0,63 |
0,8 |
0,58 |
0,6 |
0,75 |
0,96 |
|
0,11 |
0,12 |
0,02 |
0,03 |
0,2 |
0,14 |
0,19 |
0,1 |
0,12 |
0,14 |
Оперуючи цими даними ми обчислюємо:
• Величину страхового внеску для страхувальника (г) за формулою:
• Величину страхової виплати страховика (h) за формулою:
• Величину прибутку страхувальника (g) за формулою:
g=H-c-v.
Обчисливши ці проміжні дані ми переходимо до розрахунку корисності по кожному страховому контракту для страховика та для кожного із страхувальників.
Величину корисності для страхувальників Ef за формулою:
Величину корисності для страховика (ЕФ) за формулою:
Величину корисності страхування для страхувальників при підписанні страхового контракту за формулою:
В таблиці наведені результати проведених розрахунків.
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
VIII |
IX |
X |
r |
57,778 |
62,579 |
22,5 |
49,235 |
109,94 |
36,944 |
117,91 |
97,125 |
36,571 |
61,684 |
h |
222,22 |
215,79 |
150 |
182,35 |
171,78 |
105,56 |
170,89 |
231,25 |
114,29 |
198,98 |
g |
700 |
1730 |
1200 |
300 |
1070 |
1525 |
590 |
970 |
1260 |
1240 |
Ef |
624,22 |
1667,4 |
1177,5 |
250,76 |
960,06 |
1488,1 |
472,09 |
872,88 |
1223,4 |
1178,3 |
E |
24,444 |
25,895 |
3 |
5,4706 |
34,356 |
14,778 |
32,468 |
23,125 |
13,714 |
27,857 |
|
2,2222 |
7,1211 |
4,8 |
25,165 |
13,261 |
2,9556 |
17,089 |
21,275 |
3,4286 |
4,6163 |
Одержавши вище наведені результати ми можемо зробити висновок про те, який із контрактів є оптимальним для страховика та страхувальників.
Ми обчислюємо величину k для кожного страхового контракту за формулою k= , і порівнюємо їх між собою. Тобто шукаємо мінімальне значення. Одержавши дану величину ми обчислюємо «міру» взаємовигідності даного страхового контракту для страховика і страхувальника.
Так в нашому випадку оптимальним контрактом страхування є контракт під номером 3 , тому що величина k для даного контракту дорівнює:
k = 4,8 - 3 = 1,8. Одержане значення є мінімальним з поміж усіх інших. А «міра» взаємовигідності по даному страховому контракту становить:
= 4,8 + З = 7,8.