Метод релаксації

Ми покладаємо що метод є явний і стаціонарний і можемо записати

початкове наближення.

, де

Даний метод буде збігатися, якщо якобян(матриця)

Метод Пікара

В методі Пікараоператорне рівняння може бути представлене

(якщо можна)

де матриця ( )

Тоді в методі Пікара ітерації будуть визначатися наступним чином

.

При то метод Пікара представим записаний в канонічній формі (3) ітераційний метод для розвязку системи нелінійних рівнянь.

Метод Ньютона

Розкладемо функцію розкладемо за формулою Тейлора в точці

Якщо відкинути величину 2-го порядку малості тоді система (1) запишеться у виді

Система (6)є лінійною відносно і тоді розв’язок системи (6) ми приймемо за наступне наближення

Ітераційний метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь (1)можна записати :

Система (7) може бути записаний у виді операторного рівняння.

початкове наближення k=0,1,… матриця Якобі. Цей метод може бути одержаний із канонічної форми де //

Зауважимо що для реалізації методу Ньютона необхідно щоб існувала обернена матриця до

Модифікований метод Ньютона

Швидкість збіжності методу Ньютона , але модифікований простіший в реалізації.

Метод Ньютона з параметром

Нелінійний метод Якобі для систем нелінійних рівнянь

(11) початкове наближення.

На кожному кроці будемо одержувати нелінійне рівняння від однієї змінної, яке розв’язується одним з відомих методів і необов’язково один і той же метод (для всіх рівнянь) на кожному кроц.і

Нелінійний метод Зейделя для систем нелінійних рівнянь

(12)

Гібридні методи

Зовнішній по Зейделю, внутрішній по Ньютону

Зовнішній по Ньютона, внутрішній по Зейделю

Система представляє собоб СЛАР, де

Збіжність стаціонарного методу

Розглянемо стаціонарний метод

Рівняння(3) може бути записане у вигляді

(4)

де

вважатимем що H-скінчено вимірний простір (з введеною нормою) тоді точка - будемо вважати нерухомою точкою оператора ,

Тоді розвязок рівняння .

Будемо говорити що оператор є стискуючим оператором на множині з коефіцієнтом якщо для будь-яких точок виконується

Теорема (принцип стиск. відображень)

Нехай оператор s є оператором стиску, який визначається на множині

з коефіцієнтом стиснення q при чому

Тоді на множині оператор буде мати єдину нерухому точку ітераційний метод (4) збігається до при і для похибки справедливі оцінки