- •Екзаменаційний білет № 21
- •Поверхневi iнтеграли. Формули Грiна, Стокса, Остроградського.
- •Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації. Метод послідовних поступок.
- •Екзаменаційний білет № 22
- •Криволiнiйнi iнтеграли. Умови незалежностi криволiнiйного iнтегралу вiд шляху iнтегрування..
- •22.2 Прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності. Критерій Севіджа.
- •Екзаменаційний білет № 23
- •Основнi рiвняння прямої та площини у просторi.
- •Прийняття рішень в умовах конфлікту. Обережні стратегії.
- •Екзаменаційний білет № 24
- •24.1 Критерiй сумiсностi системи лiнiйних рiвнянь.
- •24.2Прийняття рішень в умовах конфлікту. Рівновага за Нешем.
- •Екзаменаційний білет № 25
- •25.1Лiнiйна залежнiсть та ранг системи векторiв, методи обчислення рангів.
- •Ранг матриці:
- •Методи обчислення рангів
- •25.2 Класифікація задач і процедур системного аналізу.
- •Екзаменаційний білет № 26
- •Лiнiйнi оператори скiнченно-вимiрних просторiв та їх матрицi.
- •Поняття складності системної задачі, спектри складності, трансобчислювальна складність.
- •Екзаменаційний білет № 27
- •27.1Власнi вектори та власнi числа лiнiйних операторiв.
- •27.2 Розкриття невизначеностей у задачах системного аналізу.
- •Розкриття ситуаційної невизначеності
- •3. Розкриття невизначеності в задачах взаємодії
- •Екзаменаційний білет № 28
- •28.1Лiнiйнi оператори простої структури.
- •28.2 Інформаційний аналіз системних задач.
- •Екзаменаційний білет № 29
- •29.1Лiнiйнi оператори дiйсних евклiдових просторiв.
- •29.2Сценарний аналіз як методологічна основа передбачення.
- •Екзаменаційний білет № 30
- •30.1Зведення квадратичних форм до канонiчного вигляду.
- •Метод Лагранжа.
- •30.2Метод аналізу ієрархій.
Екзаменаційний білет № 21
Поверхневi iнтеграли. Формули Грiна, Стокса, Остроградського.
Нехай Ф – гладка обмежена двостороння поверхня (якщо нормаль поверхні не змінює напрямку, то поверхня наз-ся двосторонньою). Нехай на цій поверхні задана ф-ція f(M), і крім того в кожній точці М задана функція і нормаль. Поверхню Ф розіб’ємо на n частин і в кожній частині виберемо точку Мі і складемо суму: , де – елемент площіі поверхні (величина площі і-тої ячейки розбиття Ф). Перейдемо до границі при n, тоді, якщо , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду. Поняття поверхневого інтегралу 1-го роду поширюється і на замкнуті поверхні.
Нехай Ф – гладка двостороння поверхня. Зафіксуємо одну із сторін цієї поверхні і розглянемо вектор-функцію , задану на Ф. Позначимо через проекцію вектора F на напрямок нормалі в точці . Інтеграл називається поверхневим інтегралом 2-го роду від вектор-функції F за вибраною стороною поверхні і записують його так: . Отже, за визначенням = . При переході до іншої сторони поверхні цей інтеграл змінює свій знак на протилежний.
Формула Гріна.
Якщо функції P(x,y), Q(x,y) – неперервні в замкнутій області D і мають неперервні частинні похідні в цій області і існують невласні інтеграли від кожної з функцій, то має місце формула Гріна: .
Частинні випадки формули Гріна: Q(x,y)=х, P(x,y)=-y. Тоді .
Формула Стокса.
Теорема. Нехай в деякому околі двосторонньої поверхні S функції ) – неперервні разом з своїми частинними похідними першого порядку, замкнений контур, який є межею поверхні S. Тоді має місце формула Стокса: .Орієнтація поверхні повина відповідати орієнтації кривої: .
x=x, y=y, z=z(x,y), - область, куди проектується. - межа області
вектор нормалі зад поверхні z=z(x,y): =
= . - аналогічно першому, потім знаходимо середнє арифметичне і отримаємо нашу формулу.
Ця формула узагальнює формулу Гріна на просторовий випадок.
Формула Остроградського.
Теорема. Функції ) – неперервні в замкнутій області V разом зі своїми похідними , тоді : , S–поверхня, яка обмежує об’єм V, n- вектор нормалі до зовнішньої сторони, - вектор ф-я.
.
- доведемо. Розіб’ємо елем тіло на скінч кількість елем тіл для інтегр по x, y. Всі межі мають Лебегову міру 0, отже на інтеграл не впливають, всі інт по внутр поверхні =0. Достатньо довести формулу для тіла елем для інтегрув по x,y.
, ,
=| =0,s1-верхня основа,s2-нижня основа,s3-бічна поверхня.|= .
Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації. Метод послідовних поступок.
Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації. Будемо розглядати скінченно вимірні задачі багатокритеріальної максимізації:
де Х – множина альтернатив, яка є множиною з простору ; – вектор критеріїв, який задається відображенням – множина індексів критеріїв, m – кількість критеріїв. У таких задачах множина альтернатив Х, як правило, виділяється з якоїсь ширшої множини за допомогою обмежень, що найчастіше представляються у вигляді нерівностей:
де – числові функції, які визначені на D. При цьому вважається, що і вектор критеріїв також визначений на D.
У ролі множини D, як правило, виступає або весь простір , або деяка його специфічна підмножина, наприклад, невід'ємний ортант , утворений усіма векторами з невід'ємними компонентами:
Практично, множина D виділяється з за допомогою найпростіших і очевидних обмежень на змінні.
Особливістю методу є те, що критерії багатокритеріальної задачі повинні бути попередньо впорядковані за зменшенням їхньої важливості, після чого вибір розв'язку задачі здійснюється шляхом виконання багатокрокової діалогової процедури. Діалогова процедура послідовних поступок складається з одного попереднього і m основних кроків (нагадаємо, що m – це кількість критеріїв).
0 – крок. Критерії впорядковуються за зменшенням їхньої важливості (будемо вважати, що ) за думкою ОПР.
і – й крок ( ). Розв'язується однокритеріальна задача:
Позначимо через її оптимальний розв'язок. Далі обчислюється оцінка . ОПР аналізує отриману оцінку й у випадку, коли вона його не задовольняє, визначає величину поступки за i-м критерієм, на яку він може погодитися з метою покращення показників за іншими, менш важливими критеріями. Якщо крок не є останнім ( i <m ), то визначається "уточнена" множина альтернатив
і здійснюється перехід на наступний крок. У протилежному випадку – альтернатива вибирається як розв'язок багатокритеріальної задачі і процедура закінчується.
На m-му кроці ОПР повинна чи погодитися з отриманою альтернативою, чи повторно виконати процедуру. У цьому випадку ОПР збагачується знанням про взаємозв'язок поступок за критеріями та значеннями менш важливих критеріїв.
Варто зауважити, що метод не обмежує можливості ОПР у виборі ефективних альтернатив.