Згасаючі коливання

У реальних фізичних системах, які здійснюють коливальний рух, завжди діють сили внутрішнього і зовнішнього тертя та опору середовища. Тому реальні коливальні рухи відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти сил опору і створення коливань у навколишньому середовищі. Зменшення механічної енергії проявляється в тому, що з часом зменшується амплітуда коливань, оскільки Е ~ А². Через деякий час початковий запас енергії повністю витрачається, і амплітуда коливань зменшується до нуля, тобто коливання системи припиняються. Коливання, які відбуваються з поступовою втратою початкової енергії коливальної системи, називаються згасаючими.

Більшість механічних коливань відбуваються при невеликій швидкості коливального руху. В цьому разі сила опору F_оп пропорційна швидкості: (10.56) де b — коефіцієнт опору; знак "мінус" вказує на те, що вектори і мають протилежні напрями.

Якщо на коливальну систему діє пружна вертальна сила (10.10), пропорційна зміщенню, і сила опору (10.56), то за другим законом Ньютона Поділивши це рівняння на масу т системи, отримаємо диференціальне рівняння згасаючих коливань (10.57) де — власна частота вільних коливань системи; — коефіцієнт згасання коливань.

Розв'язок однорідного диференціального рівняння (10.57) при  < ₀ можна записати у вигляді (10.58) де А(t) — амплітуда згасаючих коливань як функція часу;  — циклічна частота коливань.

Формула частоти згасаючих коливань (10.66) Період згасаючих коливань (10.67)

Отже, частота згасаючих коливань (10.66) завжди менша від частоти _о власних коливань системи, тобто наявність сил опору в системі ( > 0) зменшує частоту (збільшує період) коливань. При великому згасанні (=_о), система, виведена зі стану рівноваги, не здійснює коливань (=0), а поступово наближається до положення рівноваги. Такий рух називається аперіодичним (Т  ).

Відношення амплітуд коливань на початку і в кінці періоду (10.68) є величина стала для всього процесу коливань і називається декрементом згасання коливань. Натуральний логарифм цього відношення називають логарифмічним декрементом згасання: (10.69)

Згасаючі коливання часто характеризують часом релаксації . Це проміжок часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e разів: Звідси маємо =1 i =T/. Важливою характеристикою реальних коливальних систем є добротність. Добротністю Q коливальної системи називається відношення енергії коливань системи в даний момент часу до втрат енергії за один період, помножене на 2: (10.70)

При заданих значеннях амплітуди змушуючої сили f₀, яка припадає на одиницю маси коливальної системи, і коефіцієнта згасання р амплітуда (10.73) вимушених коливань є функцією тільки частоти  змушуючої сили. Функція А(() проходить через максимум при деякій характерній для даної системи частоті =_рез . Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при частотах  змушуючої сили, близьких до _рез , називається резонансом. Частота змушуючої сили _рез, при якій амплітуда коливань досягає найбільшого значення A_рез, називається резонансною частотою.

Очевидно, що максимальне значення амплітуди досягається при мінімальному значенні підкореневого виразу. Умовою мінімуму є рівність нулю похідної від підкореневого виразу за частотою, тобто

Звідси знаходимо резонансну частоту (10.82) Підставивши значення _рез , отримаємо резонансне значення амплітуди (10.83)

1.8