Определение производной. Ее практическое содержание

Решение рассмотренных задач, не смотря на их различное содержание, с точки зрения математики, одинаково. Поэтому совокупность математических операций в формулах (1.)-(3.) следует рассмотреть подробнее.

Пусть у = f(x) некоторая функция аргумента х. Если от значения х перейти к новому значению х + х, то функция принимает значение у + у = f(х + х). Таким образом, если аргументу дается приращение х, то функция получает приращение у = f(х + х) – f(х) (рис. 2.)

О

y

y=f(x)

y

х

x x+x

рис.2.

пр. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначается производная функции y = f(x): у' ,

f '(х).

По определению: (4.)

Значит для случаев (1.)-(3.), имеем (5.) (6.)

(7.)

Формулы (5.)-(7.) выражают физический смысл производной.

Пример. Используя определение найти производные функции: а) у=х; б)у=х².

Решение. а) у=х; дадим х приращение х, тогда функция получит приращение y = f(x + x) – f(x) = (x + x) – x = x.

y’=f ’(x)= .

Значит (х)' = 1.

б) у = х². Дадим аргументу приращение функции, вычислим приращение функции:

y = (x + x)² – x² = x² + 2хx+(x)²– x² = 2хx+(x)² = x(2х + х).

y’= .

Значит (х²)'=2х.

Установим геометрический смысл производной. Пусть имеем график функции y=f(x).

у

М у=f(x)

М₀  у

К

х

 

0. х

рис. 3.

Необходимо провести касательную к графику в точке М₀(х₀;у₀) (рис.3.). Точка М(х+х;у+у) принадлежит графику функции. Через точки М₀ и М проходит секущая М₀М.

Опр.Касательной к графику функции в точке М₀ называется предельное положение секущей, проходящей через точку М₀ и произвольную точку М графика, при условии, что М стремится вдоль графика к М₀.

При ММ₀, значит и tg tg .

Поскольку tg  = из треугольника М₀МК), то

tg  = =f '(x₀) (8.)

Геометрический смысл производной. Значение производной функции y = f(x) в точке х = х₀ есть тангенс угла наклона к оси Ох касательной к графику функции в этой точке, т.е.

f '(х₀) = tg .

Зная угловой коэффициент касательной к = f '(х₀) можно составить уравнение касательной

у – у₀ = f '(х₀)(х – х₀) (9.)

и уравнение нормали к кривой

у – у₀ = - (х – х₀) (10.)

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = х² в точке А(-2;4).

Решение. Имеем: у = х²; х₀ = - 2; у₀ = 4; найдем угловой коэффициент касательной: к = f '(х₀). f '(х) = f '(х²) = 2х; а в точке х₀= -2.

f '(х₀) = f '(-2) = 2(-2)=-4.

Значит уравнение касательной: у – 4 = -4(х + 2) или 4х + у + 4 = 0.

Уравнение нормали: у – 4 = (х + 2); 4у – 16 = х + 2; х – 4у – 18 = 0.