0. 65. Інтегрування підстановкою (заміни змінної).

Нехай для обчислення інтеграла від неперервної функції зроблена підстановка .

Теорема 9.5.1. Якщо:

1. Функція і її похідна неперервні при ;

2. Множиною значень функції при є відрізок ;

3. і ,

то

. (9.5.1)

□ Нехай є первісною для на відрізку . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца . Оскільки , то є первісною для функції . Тому по формулі Ньютона-Лейбніца маємо .■

Формула (9.5.1) називається формулою заміни змінної в визначеному інтегралі.

Відзначимо, що:

1. при обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;

2. часто замість підстановки застосовують підстановку ;

3. не слід забувати міняти межі інтегрування при заміні змінних!

Приклад 9.5.1. Обчислити .

○ Покладемо , тоді . Якщо , то ; якщо , тоо . Тому

.●

1. 9.5.3. Інтегрування частинами.

Теорема 9.5.2. Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то має місце формула

. (9.5.2)

□ На відрізку має місце рівність . Отже, функція є первісною для неперервної функції . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца маємо:

.

Отже,

.■

Формула (39.2) називається формулою інтегрування по частинах для визначеного інтеграла.

Приклад 9.5.2. Обчислити .

○ Покладемо .

Використовуючи формулу (9.5.2), отримаємо

.

Приклад 9.5.3. Обчислити інтеграл .

○ Розв’язання: Інтегруємо по частинах. Покладемо

.

Тому

. ●

Невласні інтеграли.

Визначений інтеграл , де проміжок інтегрування скінчений, а підінтегральна функція неперервна на відрізку , називають його власним інтегралом.

Розглянемо так звані невласні інтеграли, тобто визначений інтеграл від неперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування або визначений інтеграл з скінченим проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому нескінченний розрив.

9.6.1. Інтеграл з нескінченним проміжком інтегрування

Нехай функція неперервна на проміжку . Якщо існує скінчена границя , то її називають невласним інтегралом першого роду і позначають .

Таким чином, по означенню

.

В цьому випадку говорять, що невласний інтеграл збіжний.

Якщо ж вказана границя не існує або вона нескінченна, то говорять, що інтеграл розбіжний.

Аналогічно означається невласний інтеграл на проміжку :

.

невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається формулою , де — довільне число.

В цьому випадку інтеграл зліва збіжний лише тоді, коли збіжні обидва інтеграли справа. Відзначимо, що якщо неперервна функція на проміжку і інтеграл збіжний, то він виражає площу нескінченно довгої криволінійної трапеції (див. рис. 172).

(рис.172)

66.Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла Площа криволінійної трапеції

Нехай на відрізку задана неперервна функція . Фігура, обмежена зверху графіком функції , а знизу — віссю Ох, збоку — прямими і , називається криволінійною трапецією. Знайдемо площу цієї трапеції.

(рис.168)

Для цього відрізок точками , розіб'ємо на частинних відрізків (див. рис. 168). В кожному частинному відрізку візьмемо довільну точку і обчислимо значення функції в ній, тобто .

Помножимо значення функції на довжину відповідного частинного відрізка. Добуток дорівнює площі прямокутника з основою і висотою . Сума всіх таких добутків

дорівнює площі ступінчатої фігури і приблизно дорівнює площі криволінійної трапеції:

, тобто .

Із зменшенням всіх величин точність наближення криволінійної трапеції ступінчатої фігури і точність одержаної формули збільшуються. Тому за точне значення площі криволінійній трапеції приймається границя , до якої прямує площа ступінчатої фігури , коли необмежено зростає так, що :

, тобто .

Отже, визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно рівний площі криволінійної трапеції.

В цьому і полягає геометричний зміст визначеного інтеграла.

67 питання

Фізичні закони часто описують певні співвідношення між величинами, що характеризують процес швидкістю та прискоренням зміни цих величин. Матема-тично такі закони записують як співвідношення між фуіжціями та їх похідними. Якщо функція, яка описує фізичний процес невідома, то отримуємо рівняння, яке назива-ють диференціальним. Отже, вивчення деяких фізичних процесів може буги заміне-но дослідженням розв'язків диффенціальних рівнянь.

Диференціальним рівнянням и-го порядку називають вираз F{x,y,y ',у "...у(п))=0, де х - незалежна змінна, у - невідома функція, у',у",...,у(п>- похідні невідомої фушсції.

Розв’язком диференціального рівняння називають будь-яку функцію, яка при підстановці її в рівняння перетворює його в тотожність.

Порядком диференціального рівняння називають порядок найстаршої похід-ної, яка входигь в це рівняння.

Наприклад,

а) у '+2у — sinx - рівняння I порядку;

5) у"+у-2 — 0;

У"+ytgx = 0 -рівнянняII порядку; в) у "'+у "=уу'- рівняння III порядку Розв 'язки диференціальних рівнянь шукають за допомогою інтегрування.

Наприклад:

а) розв'язком диференціального рівняння I порядку

у'- 2х — 0 є:

у'= 2х,

у = 2xdx = х +С.

6) розв'язком диференціального рівняння II порядку^ "- 2х — 0 є:

у'= V2xdx = x +С],

у= \{x2 + Cl)dx = — + Схх + С2.

3 наведених прикладів видно, що диференціальні рівняння мають не один, a безліч розв'язків, які визначені з точністю до постійних.

Доведено, що розв 'язки рівняння и-го порядку залежать від п довільних сталих

с„ с, ... с.

17 п

Розділ 9. Диференціальніріеняння

Загальним розв’язком (загальним інтегралом) диффенціального рівняння на-зивають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Процес знаходження загальногорозв’язкуназивають інтегруванням диферен-ціального рівняння.

Геометрично, загальному розв’язку диференціального рівняння відповідає сукупність (сімейство) всіх інтегральних кривих.

Як приклад, зобразимо графічно розв’язки диференціального рівняння у'-2х =0(рис.1).

Поставимо задачу сфед усіх розв'язків диференціальногорівняння, знайтитой, який задовольнятиме певні умови. Такими умовами можуть бути значення функції та її похідних в фіксованій точці. Для наведеного прикладу (рис. 1), це означає, що

серед усіх інтегральних кривих треба вибрати ту яка проходить через точку з координатами (х„: ііхУ).

A(XQ, уо)

Узагальнюючи сказане введемо поняття початкової умови.

Початковими умовами називаюгь значен-ня фушсції та її похідних в заданій точці х .

рис.1

Розв’язок диференціального рівняння, який задовільняє заданим початковим умовам називають частковим розв’язком, а задачу знаходження часткового розв’ язку - задачею Кшш. Знаходження загального розв 'язку можливе лише для певних типів диференці-альних рівнянь. Розглянемо деякі з них.

68 питання

69 питання

Рівняння з відокремленими

й відокремлюваними змінними

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

(12.1)

праву частину можна подати у вигляді

то (за умови, що ) це рівняння можна записати так:

(12.2)

Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за , а справа за , отримаємо

(12.3)

Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).

Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах та стоять відповідно функції, залежні тільки від чи тільки від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Диференціальне рівняння вигляду

(12.4)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Справді, якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на . Маємо

і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд

.

Приклад 1 . Нехай осіб зацікавлені в одержані інформації про новини технології у деякій галузі знань. Нехай в момент часу інформація відома особам. Для прискорення поширення інформації в момент часу було дано оголошення (наприклад, по радіо). Далі інформація поширюється при спілкуванні людей між собою. Можна вважати, що після оголошення швидкість зміни кількості тих, хто знає про технологічні новини, пропорційна як числу тих, хто знає, так і кількості

тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу про новину дізналося чоловік, приходимо до диференціального рівняння

(12.5)

з початковою умовою ( - коефіцієнт пропорціональності).

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді

.

Загальний інтеграл рівняння

(12.6)

Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):

(Зауважимо, що ). Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

Звідси знаходимо загальний розв'язок :

(12.7)

Для отримання розв'язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) та визначимо довільну сталу (у даному

прикладі зручно шукати не , а ) . Маємо , звідки

(12.8)

Підставимо вираз (12.8) у загальний розв'язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв'язок:

. (12.9)

Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).

Рис.12.1

Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину на речовину , пропорційна добуткові концентрації цих речовин.

Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об'єму речовини від часу .

Нехай об'єм речовини , що бере участь в реакції, дорівнює . Тоді загальний об'єм . Приріст у разі переходу речовини в речовину має вигляд: , а швидкість реакції буде . Згідно з умовою

(12.10)

( коефіцієнт пропорційності), оскільки та - концентрації речовин та Враховуючи, що рівняння (12.10) запишемо у вигляді

або

(12.11)

де .

Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів - наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.

Розглянемо диференціальне рівняння виду . Виявляється, що це рівняння також описує зовсім різні явища, процеси: при отримуємо закон органічного росту, при - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.

12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних

Рівняння першого порядку

називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого справедлива тотожність

.

Приклад 1. Рівняння є однорідним, бо

.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки Тоді (тут покладено ). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки в рівняння дістанемо

,

звідки

.

Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної до змінної , отримуємо загальний розв'язок однорідного рівняння.

Прикладі 2. Розв'язати рівняння .

Р о з в ' я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної Тоді

.

Відокремлюючи змінні, одержуємо: , звідки

.

Отже, загальний розв'язок рівняння має вигляд .

70 питання

Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:

.

Якщо , тобто рівняння має вигляд

,

то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв’язується таким чином:

Нарешті .

Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але вважається невідомою функцією від , тобто і . Для знаходження підставимо у рівняння

.

Звідси

Проінтегрувавши, одержимо

.

І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

Якщо використовувати початкові умови , то розв’язок можна записати у формі Коші:

.