3.7. Закон распределения модуля разности.

Если две случайные величины х₁ и х₂ каждая в отдельности имеют нормальное распределение с параметрами М(х₁), М(х₂) и = = ,то модуль разности этих величин r = имеет распределение, которое носит название закона распределения модуля разности. Этому закону часто подчиняются погрешности взаимно расположенных поверхностей и осей, а также погрешности формы деталей: овальность, конусность и т.д.

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины r выражается следующим уравнением:

f(r) = 1/ ₀ [ e^{- (r – M(x ))/ 2 +} e^{- (r +M(x ))/ 2} ],

г де М(х₀) = М(х₁) – М(х₂) и являются параметрами распределения модуля разности r.

Интегральная функция распределения модуля разности имеет вид: F(r) ) = 1/ ₀ [ e^{- (r – M(x ))/ 2 +}

⁺ e^{- (r +M(x ))/ 2} ],

Вид кривой распределения f(r) зависит от отношения M(x₀)/ :

f(r) M(x₀)/ = 0

M(x₀)/ = 3

r

3.8. Композиция законов распределения.

Если величина U является суммой других взаимно независимых случайных величин X, Y, Z ,...,то закон распределения суммы U называется композицией законов распределения слагаемых X, Y, Z, ... . Операция нахождения закона называется компонированием и обозначается значком .

В случаях, когда суммируемые слагаемые X, Y, Z ,... заданы вероятностями p₁(x_i), p₂(y_i), p₃(z_i), ... или функциями F(x), F(y), F(z),... или плотностями вероятности f(x), f(y), f(z), ... формулы компонирования записываются следующим образом:

P(U_k) = p₁(x_i) p₂(y_i) p₃(z_i)... ;

F(U) = F(x) F(y) F(z)... ;

f(U) = f(x) f(y) f(z) ... .

Закон распределения суммы нескольких слагаемых находится путем последовательного определения закона для суммы 2-х слагаемых, потом к этой сумме добавляется третье слагаемое и т.д.

Рассмотрим следующий пример. Дискретные случайные величины X и Y заданы рядами распределения

Хi	1	2	3	4	5	pi
P(Xi)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5	1
Yi	1	2	3	4	5
P(Yi)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5	1

Закон распределения суммы U двух независимых д.с.в. X и Y, заданных их законами распределения P(X_i) и P(Y_i), определяется по следующей формуле композиции дискретных законов распределения:

P(U_k) = p(x_i)p(y_i) = p₁(x_i)p₂(u_k – x_i) = p₁(y_i)p₂(u_k – y_i).

Определим область возможных значений величины U:

U_min = X_min + Y_min = 2; U_max = X_max + Y_max = 10;

Применяя способ непосредственного подсчета вероятностей и пользуясь основными теоремами о вероятностях, определим p(x_i)p(y_i). Расчеты удобно вести с помощью таблицы

Uk	xi	yi	P(xi)	P(yi)	P(xi)P(yi)	P(u k)
2	1	1	1/5	1/5	1/25	1/25
3	1 2	2 1	1/5 1/5	1/5 1/5	1/25 1/25	2/25
4	1 2 3	3 2 1	1/5 1/5 1/5	1/5 1/5 1/5	1/25 1/25 1/25	3/25
5	1 2 3 4	4 3 2 1	1/5 1/5 1/5 1/5	1/5 1/5 1/5 1/5	1/25 1/25 1/25 1/25	4/25
6	1 2 3 4 5	5 4 3 2 1	1/5 1/5 1/5 1/5 1/5	1/5 1/5 1/5 1/5 1/5	1/25 1/25 1/25 1/25 1/25	5/25
7	2 3 4 5	5 4 3 2	1/5 1/5 1/5 1/5	1/5 1/5 1/5 1/5	1/25 1/25 1/25 1/25	4/25
8	3 4 5	5 4 3	1/5 1/5 1/5	1/5 1/5 1/5	1/25 1/25 1/25	3/25
9	4 5	5 4	1/5 1/5	1/5 1/5	1/25 1/25	2/25
10	5	5	1/5	1/5	1/25	1/25

Составим ряд распределения случайной величины U:

ui	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(ui)	1/25	2/25	3/25	4/25	5/25	4/25	3/25	2/25	1/25

Графическое представление результатов:

P(x) P(y)

1/25 1/25

1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 Y

P(U)

5/25

4/25

3/25

2/25

1/25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью f(x) = (1/ )e^{-[x-M(x)] /2} , случайная величина Y распределена по закону равной вероятности в интервале от а до в с плотностью f(y) = 1/(b – a).

Плотность вероятности суммы U двух независимых случайных величин X и Y, заданных их плотностями вероятностей f₁(x) и f₂(y), определится по формуле:

f(u) = f(x+y) = f₁(x) f(y) = f₁(x)f₂(y) = f₁(x)f₂(u – x)dx = = f₂(y)f₂(u – y)dy

Для рассматриваемого примера уравнение примет конкретный вид:

f(u) = [1/(b – a)](1/ )e^{-[u – y – M(x)] /2} dy, a y b.

Здесь интеграл берется от a до b, потому что только в этих пределах y 0. Введем подстановку:

[u – y – M (x)] / = – t ; dy = dt ;

[a – u + M(x)] / = t₁ ; [b – u + M(x)] / = t₂ ;

Тогда уравнение примет вид:

f(u) = (1/b – a)(1/ ) e^-t dt = 1/(b – a)[ (t₁) – (t₂) ] ,

где (t) – функция Лапласа.

Так как среднее значение для х равно М(х), для y - (b + a)/2, то

M(u) = M(x) + (b + a)/2 ; D(u) = D( x) + (b – a)²/12.

f(u) = 0

= 0,67

=2,2

u

На рисунке приведены кривые распределения по закону композиции нормального и равновероятного распределения при различных = (b – a)/ . Вид кривых показывает, что с уменьшением они приближаются к нормальной кривой. Поэтому, когда b – a , для практических целей можно использовать закон нормального распределения.

ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ