Лабораторная работа №31

Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности RLC–контура по осциллограммам.

Экспериментальные исследования.

Установить на выходе генератора синусоидальных импульсов напряжение U = 7 – 10 В, частоту f_c = 2 кГц, подключить его на вход цепи.

Цепь первого порядка.

Собрать схему, показанную на рисунке, (C=0,02 мкФ, R=5 кОм). Снять осциллограмму напряжения на конденсаторе, зафиксировав на ней полный период сигналов T_c = 1/f_c = 0,5 мс (он определяет масштаб по оси времени).

Данный процесс описывается затухающей экспонентой с постоянным коэффициентом. Так как процесс свободный, то вынужденной составляющей нет.

По осциллограмме можно определить t как x-координату точки пересечения касательной к осциллограмме в начальной точке с осью абсцисс. Это можно проверить по формуле . Собственная частота — p₁ = –10 ⁴ c^–1.

Цепь второго порядка.

Собрать схему (C = 0,02 мкФ, L = 25 мГн). Зафиксировав Т_с, снять осциллограммы при R₁=0,5 кОм (колебательный режим) R₁=3 кОм (апериодическй режим).

Изменяя R₁, рассмотреть критический режим (граничный между колебательным и апериодическим). Снять его осциллограмму и записать R_1кр.

Установив частоту f_c = 1 кГц и R₁ = 0, снять осциллограмму напряжения на конденсаторе.

Общий вид выражения для исследованных процессов: , где a или b могут быть и комплексными (колебательный случай).

Собственные частоты цепи, которая соответствует первой осциллограмме, можно определить, исходя из формул

a также можно найти на основе осциллограммы, как отношение логарифма отношения значений напряжений двух соседних максимумов и временной разности (периода) между этими двумя максимумами (a = 1/t = ln(u₁ / u₂) / Dt). Ó íàñ a = ln 10 / (2,2×10^–4) = 10466 » 10000!

При R₁ = 3 кОм p_1,2 = – 60000 ± 40000 (p₁ = – 20000, p₂ = – 100000). Это сумма двух экспонент, т.е. тоже экспонента. –a (ее степень) можно определить, как –1/t, где t определяется способом, применимым к цепям первого порядка (описан в соответствующем разделе). При R₁ = R_кр p_1,2 =-38000. Неточность обусловлена несовершенством приборов, но все же влияние комлексной составляющей гораздо меньше, чем в случае колебательного режима. Собственные частоты определяются, как и в предыдущем случае, но здесь они совпадают (кратные корни).

Добротность контура вычисляется по формуле . Мы вычисляем Q(R₁). Q(500)=2,236. Q(0) = ¥. Так как контур у нас не идеальный, то такого не может быть и лучше воспользоваться формулой .

Цепь третьего порядка.

Собрать схему (C = 0,02 мкФ, R = 5 кОм, R₁ = 1 кОм, L=25 мГн). Установить частоту f_c=2кГц и снять осциллограмму напряжения на входе.

Полученный график описывается суммой экспоненты и затухающей синусоиды.

Собственные частоты можно получить на основе осциллограммы, если разложить ее на слагаемые и для экспоненты найти p₁, как это мы делали для цепи первого порядка, а для синусоиды p_2,3 — как для цепи второго порядка. То же аналогично можно получить на основе формул — и для экспоненты, и для синусоиды. Только они усложнятся из-за усложнения цепи.

4