§3. Эллипс и его каноническое уравнение

Эллипсом называется ГМТ на плоскости, для каждой из которых, сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Построим на плоскости ПДСК и получим уравнение эллипса: ось ОХ совместим с прямой и направление укажем от . Т. О – средина отрезка . Через точку О проведем ось ОУ, перпендикулярно оси ОХ. В этой системе координат . Пусть точка М принадлежит эллипсу, тогда для нее выполняется условие (1), при этом , подставим в (1) Поскольку ,то ,значит можно обозначить ,тогда .Разделив на , получим (2).

Таким образом мы показали, что если точка М с координатами (х,у) принадлежит эллипсу, для нее выполняется уравнение (2), однако, (2) еще нельзя назвать уравнением эллипса, так как не доказано обратное. Покажем, что если точка М удовлетворяет (2), то она лежит на эллипсе: если точка М лежит на эллипсе, то . Найдем фокальные радиусы и :

Аналогично доказывается, что . Из (2) следует, что , выражения и всегда положительны. Таким образом и .

Тогда . таким образом, если координаты т. М удовлетворяют уравнение (2), то т. М принадлежит эллипсу. Следовательно, уравнение (2) является каноническим уравнением эллипса.

§4.Исследования формы эллипса. Эксцентриситет эллипса.

Пусть эллипс на плоскости задан своим уравнением

(1)

1) поскольку в уравнении (1) ХиУ входят с четными степенями, то если (х,у) принадлежат эллипсу то и принадлежит эллипсу. Следовательно ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса, а т.О – центром симметрии.

2) из уравнения (1) следует геометрически это означает, что эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами . При этом точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами эллипса.

Полуосями называется отрезок соединяющий центр симметрии эллипса и одну из его вершин.

а – большая полуось, в – малая полуось

- большая ось эллипса, - малая ось эллипса.

3) для построения эллипса достаточно его построить в первой четверти, а затем сделать симметрию относительно ОХ и ОУ.

функция убывает и не имеет экстремумов.

Отношением половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом. (2)

Поскольку по определению

1) при эллипс вырождается в окружность

2) если то

Следовательно эксцентриситет характеризует степень вытянутости того эллипса

,

§5.Директрисы эллипса и их свойства.

Дві прямі перпендикулярні осі еліпса на якій лежать фокуси і відстаючі від центра еліпса називається на відстань де a – більша піввісь, а e – ексцентриситет називається директрисою еліпса

Коло (для нього e=0)- не має директриси

Нехай еліпс задано канонічним рівнянням

Оскільки у еліпса директриси розташовані далі від вершин

Фокус і директриса розташовані по одну сторону від центра наз. відповідними

Теорема:

Для того щоб точка належала еліпсу необхідно та достатньо щоб відношення відстані від цієї точки до фокуса еліпса, до відстані від цієї ж точки до директриси рівнялися ексцентриситету еліпса

Доведення

Розглянемо нехай M належить еліпсу .Покажемо , що Аналогічно можна довести, що це виконується для довільної точки еліпса

Нехай вик

Покажемо що точка належить еліпсу

Точка M належить еліпсу

Позначимо через m- відстань від фокуса еліпса до відповідної директриси

відповідно, якщо на площині задано дов. Точку F і пряма, що не проходить через цю точку і відстань між ними m , о при 0<e<1 завжди існує еліпс для якого F – фокус, а пряма – директриса , e- ексцентриситет

Еліпс – це ГМТ на площині , для кожної з яких відношення відстані від даної точки F до прямої, що не проходить через F дорівнює заданому e<1(окрім кола)