3. Частотные свойства электрических цепей. Резонансные цепи

3.1. Общие сведения

При оценке электрических цепей в их способности передавать или подавлять сигналы широко используются частотные и фазовые характеристики. Под частотными или амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) понимают графическое изображение зависимости модуля комплексных функций цепи от частоты. Фазовые или фазо-частотные характеристики (ФЧХ) –графическое изображение зависимости фазы комплексных функций цепи от частоты.

Комплексные функции цепи – передаточные и входные - представляют собой отношение двух комплексных величин: входной и выходной .

Входными комплексными функциями являются: входное сопротивление

,

где - полное сопротивление цепи, - аргумент, определяющий фазовый сдвиг между напряжением и током; - активное сопротивление, - реактивное сопротивление;

входная проводимость

,

где - полная проводимость цепи, - активная проводимость, - реактивная проводимость.

Передаточной функцией по напряжению называют отношение комплексного выходного напряжения к комплексному напряжению на входе цепи:

,

где - АЧХ; - ФЧХ.

Аналогично определяются АЧХ и ФЧХ для комплексной передаточной функции по току.

АЧХ и ФЧХ полностью определяют поведение цепи при ее питании от источников периодического гармонического или негармонического сигналов. Для примера на рис.3.1 приведена АЧХ передаточной функции некоторой сложной цепи.

Рис. 3.1

Эта цепь наиболее эффективно передает сигналы с частотой ₁ и подавляет сигналы с частотой ₂. Такие цепи, обладающие частотными характеристиками с явно выраженной способностью усиливать или подавлять сигналы, называют резонансными.

Принято считать, что в пассивном двухполюснике, содержащем катушку индуктивности и конденсатор, имеет место р е з о н а н с, если на его входе напряжение и ток совпадают по фазе. При этом реактивная мощность на вход двухполюсника не поступает, а его входное сопротивление - активное.

При последовательном соединении участков цепи (двухполюсника) с индуктивным и емкостным характером режим называют последовательным резонансом или резонансом н а п р я ж е н и й, а при параллельном соединении - соответственно параллельным резонансом или резонансом т о к о в.

При резонансе напряжений входной ток становится максимальным, а в режиме резонанса токов - минимальным. Частоту, при которой наступает резонанс, называют резонансной.

Частотные характеристики входных сопротивлений, тока и напряжения двухполюсников с последовательным и параллельным соединением участков показаны на рис. 3.2, а и б соответственно.

а б

Рис. 3.2

Как видно из рис. 3.2, входной ток и напряжение при резонансе резко изменяют свою величину, что приводит к частотным искажениям сигнала. Чтобы эти искажения не превышали допустимой нормы, спектр сигнала не должен выходить за пределы полосы пропускания (П_). Полоса пропускания для большинства сигналов устанавливается на уровне, при котором сигнал уменьшается не более чем в раз от максимального. По полосе пропускания определяется качество резонансной цепи - ее добротность:

или ,

где - относительная полоса пропускания.

ПРИМЕР 3.1. По частотной характеристике входного тока двухполюсника, представленной на рис. 3.3, определить вид резонанса, резонансную частоту ₀ (рад/с), полосу пропускания П_f (Гц), а также добротность контура Q.

РЕШЕНИЕ. По виду частотной характеристики заключаем, что в цепи - резонанс напряжений на частоте ₀ = 4000 рад/с. Полосу пропускания определим как диапазон частот, в котором входной ток не снижается меньше, чем в раз по сравнению с током на резонансной частоте.

Рис. 3.3

По уровню 0,707 от максимального тока находим граничные частоты и их разность П_ = 2000 рад/с или П_f = 318,47 Гц.

Добротность контура может быть найдена как величина, обратная полосе пропускания: Q = ₀/П_. Численно имеем: Q = 4000/2000 = 2.